利用判別式求函數(shù)值域常見錯(cuò)誤例析

〔關(guān)鍵詞〕 判別式；函數(shù)；值域；錯(cuò)誤

〔中圖分類號(hào)〕 G633.62

〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 Ａ

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2010）12（A）—004３—01

判別式法是求函數(shù)值域的重要方法之一，它主要適用于分式型二次函數(shù)，或可通過換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的一些函數(shù)的值域問題.判別式法的理論依據(jù)是：任何一個(gè)函數(shù)的定義域應(yīng)是非空數(shù)集，故將原函數(shù)看成關(guān)于x的方程應(yīng)有實(shí)數(shù)解，故判別式≥0，即得到關(guān)于y的不等式，從而求出y的取值范圍.此法雖然簡單易行，卻極易產(chǎn)生錯(cuò)誤.本文就對(duì)解決此類問題時(shí)出現(xiàn)的幾類錯(cuò)誤進(jìn)行列舉，并對(duì)錯(cuò)因加以剖析.

一、要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)加以討論，確保轉(zhuǎn)化后的方程為二次方程

例1：求函數(shù)y=的值域.

錯(cuò)解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程（y-2）x2+（y-2）x+y-3=0，由=（y-2）2-4（y-2）（y-3）≥0得2≤y≤，所以原函數(shù)的值域?yàn)椋?，］.

正解：原函數(shù)的定義域?yàn)镽，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程（y-2）x2+（y-2）x+y-3=0 *.

（1）當(dāng)y=2時(shí)，就有-1=0，所以當(dāng)x取任何值時(shí)，y都不等于2；

（2）當(dāng)y≠2時(shí)，*式為x的一元二次方程式，由=（y-2）2-4（y-2）（y-3）≥0，得2≤y≤.

所以，原函數(shù)的值域?yàn)椋?，].

反思：忽視對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論，丟掉第一種情況，直接用判別式求解，就得到錯(cuò)解[2，].

二、將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)要確保是同解變形

例2：求函數(shù)y=x-的值域.

錯(cuò)解：將原函數(shù)式兩邊分別平方后可轉(zhuǎn)化為x2-（2y-1）x+y2-1=0，由=（2y-1）2-4（y2-1）≥0得y≤，即原函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，].

正解：原函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，1]，令t=≥0，則x=1-t2，原函數(shù)變形為y=1-t-t2（t≥0）.該函數(shù)在[0，+∞）是單調(diào)遞減函數(shù)，所以有ymax=f（0）=1，即原函數(shù)的值域是（-∞，1].

反思：因?yàn)閷⒃瘮?shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程的變形不是同解變形，故不能運(yùn)用判別式法求解.

三、用換元法轉(zhuǎn)化要確保新舊變量的取值范圍等價(jià)

例3：求函數(shù)y=的值域.

錯(cuò)解：令t=，則y=，于是有yt2-t+y=0，由=1-4y2≥0及y＞0得原函數(shù)的值域?yàn)椋?，].

正解：原函數(shù)的定義域是R.令t=（t≥2），則原函數(shù)變形為y==，令f（t）=t+，因?yàn)閒（t）在[2，+∞）單調(diào)遞減，所以，fmin（x）=f（2）=，所以y≤.又因?yàn)閥＞0，故原函數(shù)的值域?yàn)椋?，].

反思：忽視了t≥2這一條件，這時(shí)轉(zhuǎn)化前后的變量的取值范圍就不一致了，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

綜上所述，利用判別式求函數(shù)的值域時(shí)，在變形過程中出現(xiàn)不可逆的步驟會(huì)改變?cè)瘮?shù)的定義域和值域.因此，利用判別式求函數(shù)值域時(shí)，只有在確保轉(zhuǎn)化后的方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為零和原函數(shù)的定義域是R的前提下，方可直接運(yùn)用判別式法求解，其余情況都必須經(jīng)等價(jià)轉(zhuǎn)化后，用其他方法求解.