例談以繩為依托物的變速圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度

〔關(guān)鍵詞〕 物理；變速圓周運(yùn)動(dòng)；臨界速度

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 G633.7〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 Ｃ

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2010）12（Ａ）—0050—０1

以繩為依托物的變速圓周運(yùn)動(dòng)充分結(jié)合了力學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)的知識(shí)，這一物理過(guò)程的再現(xiàn)是高中物理的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。變速圓周運(yùn)動(dòng)臨界速度的求解是經(jīng)常考查的問(wèn)題，因?yàn)檫@類(lèi)問(wèn)題的解答不僅要用到圓周運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律和動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒定律，而且還要將問(wèn)題與實(shí)際情況結(jié)合起來(lái)分析，否則將使問(wèn)題的解答出現(xiàn)錯(cuò)誤，怎樣才能準(zhǔn)確無(wú)誤地解答這類(lèi)問(wèn)題？下面筆者介紹一種以繩為依托物的變速圓周運(yùn)動(dòng)臨界速度的求解方法。

例1：如圖1所示，在傾角為θ的光滑斜面上，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線，細(xì)線的一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)使小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求小球通過(guò)最高點(diǎn)A時(shí)的速度。

解析：小球恰好能在斜面上做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，因小球通過(guò)A點(diǎn)時(shí)切線方向的合外力為零，所以A點(diǎn)是物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最小的位置，當(dāng)細(xì)線的拉力為零時(shí)對(duì)應(yīng)的速度就是物體完成完整圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)和牛頓第二定律有：

mgsinθ=m得v=

由以上解答過(guò)程可得：對(duì)于以繩為依托物的變速圓周運(yùn)動(dòng)而言，要準(zhǔn)確地求出物體做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度，首先，要找到它的靜止平衡位置，然后再找到靜止平衡位置關(guān)于圓心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，這一點(diǎn)就是物體完成完整圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最小速度的位置，當(dāng)物體經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)時(shí)繩對(duì)物體的作用力為零時(shí)所對(duì)應(yīng)的速度就是物體恰好完成圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度。由此在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)不難得出這樣的結(jié)論：不論物體受到幾個(gè)力作用，只要是以繩為依托物的變速圓周運(yùn)動(dòng)，物體恰好完成圓周運(yùn)動(dòng)的條件一定是物體通過(guò)其靜止平衡位置關(guān)于圓心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)時(shí)對(duì)繩無(wú)拉力或?qū)壍罒o(wú)壓力。掌握了這個(gè)結(jié)論就可以使這類(lèi)問(wèn)題的解答變得簡(jiǎn)單，下面讓我們用這個(gè)結(jié)論來(lái)解答此類(lèi)問(wèn)題。

例2：如圖2所示，在水平向右的均強(qiáng)電場(chǎng)中放有一半徑為R的光滑絕緣的圓軌道，圓軌道內(nèi)有質(zhì)量為m的帶正電小球，小球所受到的電場(chǎng)力和重力相等，欲使小球恰好沿圓軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，必須在軌道最低點(diǎn)處給小球的最小速度為多大？

分析：取軌道最低點(diǎn)為A，因小球受到重力，電場(chǎng)力和軌道彈力的作用，所以帶電小球在圓軌道內(nèi)的靜止平衡位置在A點(diǎn)右側(cè)某點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為C點(diǎn)，CO和BO連線間的夾角設(shè)為a，B點(diǎn)為C點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，對(duì)小球在C點(diǎn)受力分析如圖３所示，因小球在C點(diǎn)所受的電場(chǎng)力和重力相等，所以得a＝，根據(jù)力平衡原理，小球在C點(diǎn)所受電場(chǎng)力和重力的合力沿OC直線由O指向C。同理可得；小球在圓軌道的B點(diǎn)所受的重力和電場(chǎng)力的合力沿BO直線由B指向O，由上述結(jié)論，小球恰好在圓軌道內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)的條件是小球在B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道無(wú)壓力，所以小球在B點(diǎn)的向心力等于小球所受的重力和電場(chǎng)力的合力。

即F心＝（１）

又F電＝mg（２）

由以上兩式得F心＝mg（３）

由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得F心＝m

由（3）（4）兩式得：ＶＢ＝

小球從A向B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可用動(dòng)能定理：

－Ｗ電－ＷＧ＝mVB2-mＶA2

即Ｆ電Rsina+mgR（1+cosa）=mVA2-mVB2

將Ｆ電＝mg，VB＝代入上式得VA＝，即要使小球恰好完成圓周運(yùn)動(dòng)，小球在圓軌道最低點(diǎn)A處的最小速度為

通過(guò)以上問(wèn)題的解答不難發(fā)現(xiàn)，掌握了這種結(jié)論，我們就可以快速、準(zhǔn)確地找到解決問(wèn)題的突破口，將看似難以解決的物理問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，使疑難問(wèn)題迎刃而解，從而收到事半功倍的效果。