配方法解方程的魅力何以如此之大

一、教材背景分析

“一元二次方程的解法”一節(jié)內(nèi)容是《一元二次方程》一章的重點(diǎn)內(nèi)容，共分四小節(jié)。教材安排的教學(xué)順序是:1.直接開(kāi)平方法;2.因式分解法;3.配方法;4.公式法。用這四種方法解方程各有長(zhǎng)處，直接開(kāi)平方法和因式分解法雖然簡(jiǎn)便易行，但并不是所有一元二次方程都能用這兩種方法來(lái)解;配方法適用于所有的方程，是解方程的通法，但配方的過(guò)程比較麻煩;公式法是直接利用配方導(dǎo)出的，適用于解所有的一元二次方程，不如直接開(kāi)平方法和因式分解法快捷。在具體解方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)方程的特點(diǎn)具體選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/p>

依據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所編寫(xiě)的蘇科版教科書(shū)中解一元二次方程需要轉(zhuǎn)化成一元一次方程，而轉(zhuǎn)化的方法通常有兩種:通過(guò)開(kāi)方降次轉(zhuǎn)化或通過(guò)分解因式降次轉(zhuǎn)化。將因式分解法解方程前置，緊跟在直接開(kāi)平方法后，就是遵循了這樣的編排思想。用這兩種方法解方程都比用其它兩法解方程簡(jiǎn)單這也體現(xiàn)了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的學(xué)習(xí)順序。

二、教學(xué)片段與反思

片段1:在學(xué)完一元二次方程的解法并將它用于解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)中得到方程:x-8x-20=0，我隨口問(wèn)學(xué)生:“此方程用何方法解好?”許多學(xué)生脫口而出:“配方法。”定睛一看，其中還不乏自己的一些得意弟子，不禁有些失望，繼而追問(wèn):“真的是配方法嗎?”這時(shí)才有零星幾個(gè)聲音小聲的回答:“因式分解法。”課還在繼續(xù)，但我的腦子里卻開(kāi)始有一個(gè)問(wèn)題揮之不去:學(xué)生在解一元二次方程時(shí)為何對(duì)配方法如此情有獨(dú)鐘?回想這幾天的作業(yè)，用合適的方法解方程，許多學(xué)生無(wú)論何方程都喜歡用配方法來(lái)解。甚至于形如(x-1)+x=6(x+1)(x-1)這樣的方程也有人愿意不辭辛苦地將其化成ax+bx+c=0(a≠0)的一般形式再來(lái)配方求解。

反思:配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容的方方面面，僅在本章知識(shí)中，除運(yùn)用于解方程外，在求根公式的推導(dǎo)、根的判別式的應(yīng)用中都運(yùn)用到配方法，因此配方法作為一種重要的數(shù)學(xué)方法必須讓學(xué)生掌握，但就解法的便捷性而言，它遜于其它三種方法。而學(xué)生為什么要棄“簡(jiǎn)”就“繁”呢?反思自己的教學(xué)結(jié)果，說(shuō)明學(xué)生在學(xué)習(xí)一元二次方程的解法時(shí)，還沒(méi)有形成好的思維策略，在解法的選擇順序上還沒(méi)有養(yǎng)成“先特殊(直接開(kāi)平方法，因式分解法)，后一般(公式法、配方法)”的思維習(xí)慣。

片段2:在學(xué)習(xí)用配方法解一元二次方程時(shí)我出示了如下兩題:

1. x-2x-1=0;2. x-4x+3=0。

方程x-2x-1=0用已學(xué)的直接開(kāi)平方法、因式分解法均不能求解，那應(yīng)該怎樣來(lái)達(dá)到降次轉(zhuǎn)化的目的呢?解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思路都是以舊解新，用原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)束“對(duì)付”新的問(wèn)題，按“思維定勢(shì)”去檢索自己的“武器庫(kù)”，搜尋合用武器、方法，再瞄準(zhǔn)新靶。為了幫助學(xué)生找到合適的方法來(lái)解決這個(gè)新問(wèn)題，我先讓學(xué)生解了這個(gè)方程:x-2x+1=2，學(xué)生很輕松地將其變形為(x-1)=2，然后用直接開(kāi)平方法求解。得到我的啟發(fā)，學(xué)生學(xué)會(huì)了通過(guò)配方將x-2x-1=0變形為(x-1)=2來(lái)求解。順勢(shì)而下我讓學(xué)生解方程:x-4x+3=0。這時(shí)我聽(tīng)到有學(xué)生很快地報(bào)出了答案，而且聽(tīng)到了有學(xué)生在小聲地講“用因式分解法”。可惜我當(dāng)時(shí)急于教會(huì)學(xué)生用配方法來(lái)解方程，來(lái)完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，擔(dān)心因式分解法的出現(xiàn)會(huì)干擾這一主題，因此將這樣的聲音視為了超出自己預(yù)設(shè)之外的“不和諧音符”。于是我繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生如何配方再開(kāi)方降次。為了考查學(xué)生對(duì)配方法的理解，我還出示了四道習(xí)題:

1. x+2x-3=0，?搖?搖 2. -x-4x+2=0，

3. x(x+2)=24，?搖?搖?搖4. 2x-4x-3=0。

在總結(jié)了配方法后，當(dāng)然又進(jìn)行了一系列的由簡(jiǎn)到繁的解方程的練習(xí)，我自認(rèn)為對(duì)于學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上去掌握這一基本技能的教學(xué)是成功、有效的。

反思:再次回顧片段2的教學(xué)過(guò)程，相信學(xué)生在學(xué)習(xí)中一定還有這樣的思維火花在閃動(dòng):方程x+2x-3=0、x(x+2)=24還可以用因式分解法來(lái)解，而且比配方法更簡(jiǎn)單。但在我“忽略”掉了第一個(gè)“不和諧的聲音”后，學(xué)生順應(yīng)了我的“暗示”，投入到配方法解方程的學(xué)習(xí)中，心無(wú)旁騖。如果我在應(yīng)對(duì)自己預(yù)設(shè)之外的這一聲音時(shí)，變“不和諧”為“精彩”，鼓勵(lì)學(xué)生回顧我們所解的這些方程中除了配方法外，哪些還可用前面所學(xué)的方法來(lái)解，進(jìn)而比較一下不同解法的特點(diǎn)，那么就能幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)不斷地與舊知識(shí)進(jìn)行回顧、比較，找出知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，相信學(xué)生也就不會(huì)出現(xiàn)在解方程時(shí)只對(duì)“配方法”情有獨(dú)鐘的尷尬了。

三、對(duì)教法的的建議

配方法、公式法早在公元前19世紀(jì)就已經(jīng)為巴比倫人所知，而因式分解法的出現(xiàn)卻遲了整整3500年。那么因式分解法最初是如何被數(shù)學(xué)家想到的?從哈里奧特的例子中，我們可以看出，他是先遇到了方程(x-b)(x+c)=0，將左邊展開(kāi)得到x-bx+cx-bc=0，由此反過(guò)來(lái)想到用因式分解法來(lái)解一元二次方程的。在笛卡爾的《幾何學(xué)》中，我們也可以看出這一點(diǎn)。他將一元一次方程x-2=0和x-3=0相乘，得一元二次方程程x-5x+6=0，它的兩根為2和3。

從一元二次方程解法的發(fā)展歷史來(lái)看，我們?cè)诮虒W(xué)的安排順序上是否也可調(diào)整如下:1.直接開(kāi)平方法，2.配方法，3.公式法，4.因式分解法。這樣應(yīng)該是更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。也許“片段2”中，當(dāng)教師在“用配方法解方程”的教學(xué)時(shí)出示例題程x-4x+3=0，學(xué)生更能沉浸在用配方法得出方程解的喜悅中，而在因式分解法的教學(xué)中再將學(xué)生以前解過(guò)的一些方程拿出來(lái)解，相信因式分解法無(wú)可替代的簡(jiǎn)便性一定能給學(xué)生的心靈以觸動(dòng)和震撼。解一元二次方程的基本思路是降次，通過(guò)對(duì)“因式分解降次”與“開(kāi)方降次”的這種比較性的學(xué)習(xí)，使學(xué)生更能有效地突破原有的思維方式或思維定勢(shì)，使他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)變化的歷程，享受那種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的喜悅，這樣學(xué)生得到的便不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，更應(yīng)是智慧的啟迪、創(chuàng)新的誘發(fā)和對(duì)數(shù)學(xué)解題中“簡(jiǎn)單美”的不懈追求，更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。相信對(duì)“配方法情有獨(dú)鐘的學(xué)生”會(huì)少許多。

四、對(duì)教、學(xué)的再認(rèn)識(shí)

1.認(rèn)識(shí)到運(yùn)算也是一種推理

初三數(shù)學(xué)教師常常因?yàn)闀r(shí)間的緊迫性，在教學(xué)中輕運(yùn)算、重推理。對(duì)一元二次方程解法的教學(xué)中以傳遞知識(shí)為最終目的，對(duì)學(xué)生缺乏解題方法的總結(jié)，解題思維策略的指導(dǎo)。殊不知運(yùn)算也是一種推理。對(duì)一系列數(shù)據(jù)實(shí)施運(yùn)算，就是根據(jù)運(yùn)算法則逐步推導(dǎo)，將所求對(duì)象有根據(jù)地導(dǎo)出結(jié)果的過(guò)程，所以提高學(xué)生的運(yùn)算能力與提高學(xué)生的邏輯推理能力是相輔相承的。在教學(xué)中，我們應(yīng)該重視運(yùn)算的教學(xué)，并且將其作為培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)，養(yǎng)成一題多解，解后反思的好習(xí)慣的知識(shí)載體。一元二次方程的解法是學(xué)習(xí)后面許多知識(shí)的重要基礎(chǔ)，而且在方程解法的學(xué)習(xí)過(guò)程中所滲透的轉(zhuǎn)化、比較、配方等數(shù)學(xué)思想方法，以及一道方程可能有的多種解法，都有助于學(xué)生思維多向性的培養(yǎng)，以及思維品質(zhì)的提高。實(shí)際上，知識(shí)與能力是相輔相承的，在基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)注意讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握條理分明、系統(tǒng)嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)知識(shí)的運(yùn)用達(dá)到“召之既來(lái)，來(lái)之即用”的高度。

2.在教和學(xué)中重視回顧與反思

“積學(xué)以?xún)?chǔ)寶”是古人的治學(xué)秘訣，“不積跬步，無(wú)以至千里;不積小流，無(wú)以成江海”，“合抱之木，生于毫末;九層之臺(tái)，起于累土;千里之行始于足下。”如果我們不能經(jīng)常反思自己的教學(xué)，那么必然將忽視學(xué)生對(duì)知識(shí)的回顧、反思，對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)就會(huì)像“狗熊掰玉米”一樣地不斷丟棄，學(xué)生又何以“行千里，成江河”呢?對(duì)知識(shí)的不斷反思正是我們培育“毫末”，廣積“壘土”，從足下做起的學(xué)習(xí)良方。

學(xué)生在解一元二次方程時(shí)對(duì)配方法的“情有獨(dú)鐘”，恰恰反映了在學(xué)習(xí)和解題時(shí)缺乏回顧和反思，前學(xué)后忘。而對(duì)學(xué)生“不和諧音符”思維火花的扼殺，也反映了教師本身對(duì)教學(xué)的回顧、反思的不足。在對(duì)大量學(xué)生的學(xué)習(xí)情況分析中表明，學(xué)習(xí)中的種種缺陷(例如:能聽(tīng)懂但不會(huì)做題，公式回背但不會(huì)用，解題思路狹窄，不會(huì)提問(wèn)題，等等)均與學(xué)生學(xué)習(xí)中欠缺“回顧、反思”的習(xí)慣有關(guān)。這就需要我們?cè)诮虒W(xué)中正確引導(dǎo)、嚴(yán)格示范，注重引導(dǎo)學(xué)生新舊知識(shí)的對(duì)比聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生“浮想聯(lián)翩”，在設(shè)計(jì)教案時(shí)，充分估計(jì)到教學(xué)中可能出現(xiàn)的各種情況，能應(yīng)對(duì)學(xué)生提出的超出課堂預(yù)設(shè)的“怪問(wèn)題”。教師應(yīng)做到“放得出，收得住”，準(zhǔn)確地駕馭教學(xué)進(jìn)程，循序漸進(jìn)地完成教學(xué)任務(wù)，將學(xué)生能力的培養(yǎng)不斷地推向新的高度。

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