初中實數運算問題的一些技巧

摘 要: 針對初中數學中考及各類競賽，本文作者提出了多年教學經驗中積累下來的有關實數計算的各種教學經驗，并以例子講解的方式供讀者參考。

關鍵詞: 初中數學 實數運算問題 技巧

實數是整個初中，甚至整個中學數學的基礎，搞好實數這一部分的教學有著極其重要的意義，本文通過下述關于實數的具體問題的演練給出多年教學經驗積累下來的解題技巧。

例1:(2002年全國競賽題)若S=，則S的整數部分是。

解:分母M=++…+含22項。

∴M>且M<，∴

例2:求不定方程(+x)(+y)=的有理數解。

解:方程可變形為(xy+2)+(x+y-1)=0……(*)，因為x，y為有理數，所以xy+2，x+y-1為有理數，故(*)等價于xy+2=0x+y-1=0，所以x=2y=-1或x=-1y=2即為所求的有理數解。

例3:3個有理數a，b，c兩兩不等，那么，，中有個負數。

解:因為#8226;#8226;=1故，，中必有一個正數，不妨設>0則有兩種情況:(1)當a>b>c時，，均為負數。(2)當a

例4:設a，b，c，d都是實數，若|a+b|=4，|c+d|=2，且|a-c+b-d|=c-a+d-b，求a+b+c+d的最大值。

解:由已知|a-c+b-d|=c-a+d-b=-(a-c+b-d)知a-c+b-d≤0，即a+b2=|c+d|，所以a+b=-4，c+d=2或c+d=-2，所以a+b+c+d=-4±2=-6或-2。所以，當c+d=2時，a+b+c+d的最大值為-2。

例5:一個四位數乘以4后為它的反序數(數碼相同而次序相反的自然數)，求這個四位數。

解:設此四位數為據題意:×4=，因為<10000，所以<2500，所以a≤2，又因為必為偶數，所以a=2，原式化成4×=，從等式左面可以判斷d等于3或8。從等式右面看可以判斷d等于8或9。所以d=8，原式化成4×=，即4×(2008+100b+10c)=8002+100c+10b，所以13b+1=2c，又因為2c≤18，所以b=1，從而c=7，故原數為2178。

例6:若P=-，Q=-，R=-，那么P，Q，R的大小關系為( )。

A.P>Q>R B.P

解:設a=1998，則P=-=，Q=-=，R=-=，顯然P=R

故選D。

例7:計算:++ +…+。

解:∵====2(-)，

∴原式=2(-)+2(-)+…+2(-)=2(-)=。

例8:計算:1+2+3+…+(n-1)+n。

解:設S=1+2+3+…+(n-1)+n。

∴S=n+(n-1)+(n-2)+…+1，

∴2S=n(n+1)，∴S=。

例9:計算:1++++…+。

解:設S=1++++…+(1)，

則2S=2+1++++…+(2)，

∴(2)-(1)得S=2-。

例10:當1≤x≤2時，化簡根式-的結果是( )。

A.0 B.2C.2 D.-2

解:-=-=-=(+1)-(1-)=2，故選C。

例11:設x，y，a都是實數，并且滿足|x|=1-a，|y|=(1-a)(a-a-1)，試求|x|+y+a+1。

解:∵|x|≥0，|y|≥0，

∴1-a≥0(1-a)(a-a-1)≥0，即1-a≥0(1-a)(a-a+1)≤0。

又∵a-a+1=(a-)+>0，

∴原不等式等價于1-a≥01-a≤0，

∴a=1，從而|x|=|y|=0，x=y=0，

∴|x|+y+a+1=2。

例13:求證:任何有理數的平方都不等于2。

證明:假設有理數(p，q是互質的整數，p≠0)滿足()=2，則有p=2q，從而p是2的倍數，為偶數。∴p也為偶數，設p=2k，則4k=2q，即2k=q，從而q也為偶數，這與p，q互質矛盾，故假設不成立，所以任何有理數的平方都不等于2。

例14:設x，y，z為實數，A=x-2y+，B=y-2z+，C=z-2x+，證明:A，B，C中至少有一個為正數。

證明:由題設得:

A+B+C=(x-2y+)+(y-2z+)(z-2x+)

=(x-2x+1)+(y-2y+1)+(z-2z+1)+(π-3)

=(x-1)+(y-1)+(z-1)+(π-3)>0，

∴A，B，C中至少有一個為正數。

例15:關于x的方程kx-(k-1)x+1=0有有理數根，求整數k的值。

解:(1)當k=0時，x=-1，方程有有理根。

(2)當k≠0時，∵方程有有理根，∴△=(k-1)-4k=k-6k+1必為完全平方數，不妨設k-6k+1=m(m為非負整數)，

∴(k-3)-m=8，即(k-3+m)(k-3-m)=8，又∵(k-3+m)與(k-3-m)奇偶性相同，且k-3+m≥k-3-m，從而有k-3+m=4k-3-m=2或k-3+m=-2k-3-m=-4，解得k=6或k=0(舍去)。

綜合(1)，(2)可知，方程kx-(k-1)x+1=0有有理數根，整數k的值為0或6。

參考文獻:

[1]黃東坡.數學培優競賽新幫手[M].武漢:湖北辭書出版社，2007.

[2]盛磊，范麗，何曉.奧林匹克競賽輔導#8226;數學[M].延吉:延邊人民出版社，2008.

[3]項昭義，陳斌，周春荔.全國奧林匹克初三競賽教材(數學)[M].北京:京華出版社，2008.