關于幾何畫板輔助數學教學的探討

《幾何畫板》特有的幾何作圖、圖形變換、度量計算、跟蹤變化等多種功能為廣大師生揭示幾何精髓、架設數形結合橋梁、構建數學認知情境，提供了有力的利器、給數學教學改革注入了無限的活力。

在數學教學中，抽象與具體、邏輯與直觀是永恒的矛盾。太簡單的例子不能說明問題，生動有趣的實例又因計算量大或作圖困難而不能說明。于是造成傳統教學中出現的理性與感性、理論與實踐相脫節的弊端。而《幾何畫板》所展示的動態圖形和強大的計算功能和圖象處理能力，正好能彌補傳統教學中的缺陷，解決了在黑板上手工勞動所難做到的(空間圖形的旋轉、平移)、做不好的(方程與圖形的關系)或做起來繁瑣(點的軌跡)的內容。動態圖形能創造出一種情境，使其歸納出事物的共性和本質特征，解決了數學教學中直觀與抽象、共性與個性的矛盾。這樣能使學生積極參與到整個教學活動中，并由原來的機械模仿轉向積極主動的思考，使學生始終處于主動狀態中，變“聽數學”為“做數學”，用最短的時間獲得較多的知識，培養了學生的創造性思維能力。

例如，橢圓的幾何性質中離心率對圖形扁平程度的影響這一內容，以往在黑板上根本無法演示，而通過《幾何畫板》上一拖，就很直觀明顯看出n或c的變化引起圖形的變化，教學效果顯而易見。

學習數學的一個重要環節是了解數學背景，獲得數學經驗。而傳統教學對經驗獲得的過程無法展示其操作過程，而對于動態的關系的把握也無法在變化中獲得。而《幾何畫板》恰恰可提供了這樣兩個過程。它是可操作的，能在變化過程中把握恒定不變的規律。學生可以任意搬運圖形，觀察圖形，作出猜測并驗證，在觀察、探索、發現的過程中增加各種圖形的感性認識，形成豐富的幾何經驗背景。顯然這有助于學生理解和證明，且能在操作過程中充分發揮學生的主動性、積極性和探索性。

例如我在教關于圓的軌跡方程時，就問題“求平面內與兩定點距離之比為不等于1的常數的點的軌跡。”利用制作的課件，讓學生觀察、研究，當比值大于1、小于1不同情況下變化，動點的軌跡都是圓的事實，并在圖上展示其軌跡形成的原因，利用平幾中三角形內、外角平分線性質定理讓學生悟出其共性特點。

《幾何畫板》的運用增強了教學的民主性、學生的參與性，極大地激發了學生學習的興趣，調動了學生學習的積極性。它所提供的刺激不是單一的，不僅有利于知識的獲取、意義的建構，而且有利于知識的保持、能力的提高，大大增強了教學效果，這是以往任何教具所不能實現的。

用代數方法研究幾何，必然要把數與形結合起來。在《幾何畫板》中畫完圖形后，立即可測算出數值，并能把圖形變化過程與數量關系的變化(哪怕是微小的變化)直觀地顯示出來。數與形的打通，為解析幾何的學習提供了很好的試驗工具。《幾何畫板》架設了數形結合的橋梁，是進行探索、驗證的好幫手、是創設情景的極好工具。例如在學習曲線的交點時，我利用《幾何畫板》作出拋物線，再作一直線，當直線繞一定點旋轉時，斜率通過屏幕顯示變化的不同數值，何時與拋物線相交、相切、相離。在作一直線平行移動時，其截距值也隨之變化，位置關系也一目了然。

《幾何畫板》提供師生實驗環境，是建構主義理想的學習媒體。建構理論認為，:“知識不是被動接受的。而是認知主體積極建構的。”雖然學生學習的數學知識都是前人已經建造好了的，但對學生來說仍是全新的、未知的，需要每個人再現類似的過程來形成。利用《幾何畫板》提供“做數學”的環境，可以對學習的成果進行存儲，以便再認識、再探索、再實驗，與學習者有很好的“協作”功能。而“會話”是“協作”過程中一個不可缺少的環節，“協作”的過程當然也是“會話”的過程。利用《幾何畫板》進行數學教學，可以使學習者能夠處于主動的地位，《幾何畫板》的動態顯示是最好的話語，可控制的過程更加有利于揭示事物的性質、規律、事物之間的聯系，而“意義建構”自然是水封渠成，瓜熟蒂落的事了。

《幾何畫板》作為一種先進的學習工具，掌握它是掌握一項先進的學習技能，它不僅能夠幫助學生理解數學概念，解決數學問題，而且其本身就是一個智能開發的工具，有利于學生能力的培養、素質的提高。

事物總是一分為二的，電腦作為一種教學工具顯然是“中性”的，可以用它來培養能力，提高素質，也可以用它來搞“題海”、“滿堂灌”，增加學生的負擔。計算機輔助中學數學教學，“輔助”的地位不能變。無論電腦有多么強的交互性，“人機對話”絕不能代替“人際對話”。教學過程是十分復雜的、細膩的過程，忽視教師與學生之間的情感交流在教學中所起的作用，必然將把“計算機輔助中學數學教學”引向反面。在教學中，需要用計算機講清楚的才用計算機，能用黑板講清楚的問題，不要去搬弄計算機。我在嘗試過程中，有過成功的經驗，也有過失敗的教訓。一個優秀的教師是任何軟件也代替不了的，教師要借助電腦合理控制。當講授知識重點和難點時，教師確定的思維啟發和學生被啟發而出現的求知興奮時刻，是運用多媒體的最佳時機。教師確定知識解疑點和學生出現心理障礙的時刻，也是運用多媒體的最佳時機。教師只有把握最佳時機，運用《幾何畫板》，才能夠真正起了“畫龍點晴”的作用，否則多媒體成了多余的“畫蛇添足”。

目前，僅僅將電腦作為活動黑板的做法已為大多數教師所摒棄，但還有相當一部分教學軟件的設計使學生只能按照教師的思路方法，以一定程序進行學習。有些教學的設計雖是啟發式，但并不能滿足各種不同層次的學生的不同需求，教師的設計與學生已有的數學現實有距離，學生看不到教師所提供的信息與他已有知識之間的聯系。事實上，學生的學習不只是模仿和接受教師的策略和思維模式，他們要用自己已有的知識去過濾和同化新的信息。為此，我們在設計軟件時應特別注意學生所要學習的新知識與過去所學內容的內在聯系，為各種不同學習程度的學生提供多角度和盡可能多的背景資料，以充實學生的數學現實，促進學生的積極建構并用自己的方式思考問題的方法和策略。

在設計、制作、實際使用《幾何畫板》教學軟件的過程中，作為主導作用的教師，必須選擇和設計好教學過程，把學習的主動權還給學生，使學生的學習落實到建構意義上來，使學生的學習潛力得發揮。數學教學不應該僅僅教給學生數學結論，我們反對的是沒有活動和為了活動而活動，數學活動的必要性在可引導學生將注意力集中到動態的思維過程上，通過思維運算和反省抽象來理解和掌握數學概念。《幾何畫板》輔助教學，使學生的學習擁有一個能包容各種內容和活動更廣泛的空間，但我們不能停留在只是滿足緊扣教材和演繹教材所含的知識內容上，而應為學生創造更多的活動機會，形象生動地展現思維活動的過程，促進學生將現實世界中的內容抽象成數學概念。

在引入橢圓定義時，我利用《幾何畫板》的動畫形象生動地表現了橢圓形成的過程，然后要求學生自己描述橢圓意義。學生通過操作發現，按他們的定義有時得到的是橢圓，而有時只是一條線段，有時甚至根本就畫不出圖像。教師應通過學生在計算機環境下的操作實踐及學生與學生，教師與學生之間的討論，根據他們所感知到的現象，抽象、概括、提煉出一個完整準確的橢圓的定義。

對于同一個《幾何畫板》的軟件，應用的火候是否得當，決定了其是“畫龍點晴”，還是“畫蛇添足”的關鍵。比如，在“誘導公式”中，當角終邊關于x軸、y軸，原點對稱時的不同角的三角函數值隨著角的變化而變化，如何在未推出誘導公式之前，先讓學生在電腦屏幕上看到《幾何畫板》所展示的變化情況，并觀察、發現其變化規律，由特殊到一般，具體到抽象而得到任意角的“誘導公式”，再用三角函數定義加以證明。此時《幾何畫板》對幫助學生展開正常的思維活動起了促進作用，但如果先讓學生證明了誘導公式，再用《幾何畫板》給學生作演示，驗證剛才證明了的誘導公式是成立的，這就顛倒了認識的過程，這時的演示非但起不了“畫龍點晴”的效果，反而給人以“畫蛇添足”之感。