二元線性規劃解題中的策略

摘 要: 本文主要介紹了二元線性規劃在數學各分支之間的解題的綜合應用，以它直觀的幾何圖形，展示了多元變量的關系，體現它獨特的解題思路。

關鍵詞: 二元線性規劃 多元變量 解題思路

在數學問題的解決過程中，經常遇見一些二元變量或多參數問題，這類問題沒有常規的方法解決，解決的過程中十分容易出錯，還不容易找出錯誤的原因。在這里我結合自己的解題經驗，把這些問題轉化為二元線性規劃問題解決，體現它的獨特的解題思路。

一、求解多參數的取值范圍

例1:已知二次函數f(x)=ax+bx+c，a≠0的圖像過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求a，b和4a-2b的取值范圍。

解法1:∵f(x)=ax+bx+c，圖像過原點，

∴c=0。

∵1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，

∴1≤a-b≤2，3≤a+b≤4，

由不等式的性質得:2≤a≤3，0.5≤b≤1.5，

∴8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，

∴5≤4a-2b≤11。

解法2:由已知得f(1)=a+b，f(-1)=a-b，

∴a=[f(1)+f(-1)]，b=[f(1)+f(-1)]，

∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，

而1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，

∴6≤f(-2)≤10。

解法3:設m(a+b)+n(a-b)=f(-2)=4a-2b，

∴m+n=4，m-n=-2，

∴m=1，n=2，

∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1)，

而1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，

∴6≤f(-2)≤10。

上面三種解法中，解法一是錯誤的，解法二和三沒有解出a、b的取值范圍，都存在缺點。下面我們用線性規劃來解決，與上面的方法相對比。

解法4:∵1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，即1≤a-b≤2，3≤a+b≤4，如圖1，以aob為直角坐標系，線性約束條件為1≤a-b≤2，3≤a+b≤4，可行域為四邊形ABCD內部，

∴A(2，1)，B(，)，C(3，1)，D(，)，

∴2≤a≤3，0.5≤b≤1.5。令m=4a-2b，

∴b=2a-，-為直線b=2a-在縱軸上的截距，

∴過A(2，1)有最小值為6，過C(3，1)，m有最大值為10，即6≤4a-2b≤10。

總結:對上面幾種解法分析，解法4利用了二元線性規劃的幾何圖形，清楚地展現了思維過程，解法1中4a-2b=5時，a=2，b=1.5;4a-2b=11時，a=3，b=0.5;而點(2，1.5)和點(3，0.5)都不在解法4的可行性區域外，所以解集擴大了。

二、解決方程中的問題

例2:設a、b都是正數，方程x+ax+2b=0，x+2bx+a=0，都有實數根，求a，b的取值范圍及a+b的最小值。

分析:對此問題直接解比較困難，但可以轉化后就容易解決。

解:由已知得a-8b≥0，b-a≥0，a>0，b>0。

令m=a+b，以aob直角坐標系內把a-8b≥0，b-a≥0，a>0，b>0作為約束條件，則b=-a+m看作直線，求截距m的最小值。

如圖2陰影部分為可行域，則A(4，2)，

∴a≥4，b≥2，m有最小值為6，即a+b有最小值為6。

三、解決集合中的問題

例3:設集合A={(x，y)|y≥|x-2|}，B={(x，y)|y≤-|x|+b}。

①A∩B≠Φ時，b的取值范圍是( );②若(x，y)∈A∩B，且x+2y的最大值為9，則b的值為( )。

解:①如圖3，對A，x≥2時，y≥x-1;x<2時，y≥-x+1，對B若作y≤-|x|的圖像，同一坐標平面向上或向下平移得:y≤-|x|+b的可行域，要保證A∩B≠Φ，則b≥1。

②令x+2y=z，則y=-x+，因為x+2y有最值為9，即y= -x+。在圖4中的可行域中，直線y=-x+的截距有最大值，故過(0，b)點時截距最大，∴9=0+2b，∴b=。

四、解決幾何概型的概率問題

例4:已知有一線段長為3，把它分為3段，求三條線段能構成三角形的概率。

解:設三條線段長為x，y，z，則:三條線段所有的截法應滿足:0

∴z=3-(x+y)，∴0

以xoy為直角坐標系，上述條件的可行域如圖5，

∴S=×3×3=三線段能構成三角形的所有取法應滿足:x+y>z，x+z>y，y+z>x，x+y+z=3，

∴x+y>，0

∴以xoy為坐標系，上述條件的可行域如圖6。

∴S=××=，

∴能構成三角形的概率為P==。

五、二元線性規劃中的典型例題

1.實系數一元二次方程x+ax+2b=0的根在(0，1)，另一根在(1，2)上，求a，b和2a-b的取值范圍。答案:a∈(-1，-2)，b∈(0，-1)，2a-b∈(-7，-2)。

2.已知A={(x，y)|0≤y≤4，-4≤y≤2}，B={(x，y)||2x+y|≤3}，若(x，y)∈A∩B，求x-y的最值。

答案:-8≤x-y≤。

3.已知方程x+(2+a)x+1+a+b=0的兩根為x、x，并且0

4.以原點為圓心的圓完全落在區域x-3y+6≥0和x+y-2≤0內，則圓面積最大值為 。

答案:2π。

5.當x，y滿足條件|x|+|y|<1時，變量u=的取值范圍是 。

答案:(-，)。

6.已知x，y滿足x≥1，x-4y+3≤0.3x+4y-23≤0。(1)求z=的取值范圍;(2)求z=x+y的最大值、最小值;(3)z=mx+y(m>0)取得最大值的最優解有無數個，求m的值。

答案:(1)z∈[，5];(2)最大值29，最小值2;(3)m=。

7.如下圖，在0到1之間隨機選擇兩個數x，y，這兩個數對應的把0—1之間的線段分成了三條線段a，b，c，求用這三條線段a，b，c不能構成三角形的概率。

參考文獻:

[1]數學分析.華東師大出版社.

[2]中學數學教學參考.陜西師大出版社.

[3]世紀金榜.2009版.

[4]5年高考3年模擬.2009版.

[5]怎樣解題.2006版.