不變量原理在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

摘 要: 不變量原理是一個(gè)啟發(fā)性原理，運(yùn)用不變量原理去解決數(shù)學(xué)問題，有時(shí)能使解題達(dá)到一種意想不到的境界。本文通過闡述利用數(shù)的不變量、形的不變量、性質(zhì)的不變量與構(gòu)造不變量去解決問題供大家體驗(yàn)和感受，以此增強(qiáng)運(yùn)用不變量原理去解決數(shù)學(xué)問題的意識。

關(guān)鍵詞: 中學(xué)數(shù)學(xué) 利用 不變量 解決問題

先提出一種高級的解題策略:設(shè)有一個(gè)動(dòng)態(tài)的變化過程，它有一點(diǎn)復(fù)雜，但從中有不變的東西，稱為不變量，那么找出不變量對問題的解決會(huì)有所幫助。因?yàn)椴蛔兞吭硎且粋€(gè)啟發(fā)性原理，要想掌握和運(yùn)用這個(gè)原理，最好是通過體驗(yàn)和感受來學(xué)習(xí)。下面我例舉幾個(gè)用不變量去解決問題的例子，讓大家有所感受和體驗(yàn)。

一、利用數(shù)的不變量去解決問題。

數(shù)的不變量包括方程的解、線段的長度、角的大小等，它們雖是一些動(dòng)態(tài)變化過程中最常見而又普通的量，但只要你抓住了它們，就能很快地解決問題。

例1.解方程:(x-3x+3)-3(x-3x+3)+3=x。

解:設(shè)f(x)=x-3x+3，則f(x)=x的解也是f[f(x)]=x的解。這里f(x)=x的解稱為f[f(x)]=x的不動(dòng)點(diǎn)，它就是一個(gè)不變量。易知它是1或3，因此(x-3x+3)-3(x-3x+3)+3-x有因式(x-3)(x-1)，兩者相除得x-2x+1=0，得x=1。所以原方程的解為1。

例2.如圖1，有一個(gè)3×8的縱橫線路圖，一只小蟲沿縱橫線向上或向右從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則不同的爬行方式的總數(shù)是。

解:無論哪一種爬行方式，縱的爬行3，橫的爬行8，這是兩個(gè)不變量，一共是11個(gè)位置，只需確定縱的爬行位置，剩下的自然是橫的爬行位置，所以爬行方式的總數(shù)是C。

例3.已知⊙C過定點(diǎn)A(p，0)(p>0)，圓心C在拋物線y=2px上運(yùn)動(dòng)，若MN為⊙C在y軸上截得的弦，設(shè)|AM|=m，|AN|=n，∠MAN=θ。求+的最大值和最小值。

解:我們猜想，在圓心的運(yùn)動(dòng)過程中存在某個(gè)不變量。通過作圖試驗(yàn)，我們發(fā)覺，似乎MN的長度幾乎沒有什么變化，因此猜想這個(gè)長度為一個(gè)不變量。事實(shí)上，設(shè)圓心坐標(biāo)為(，y)，則半徑R=(-p)+y，又弦心距為，則|MN|=2=2=2p，為一個(gè)不變量。在△AMN中，|MN|=|AM|+|AN|-2|AM|·|AN|·cos∠MAN，即4p=m+n-2mncosθ，又S=|MN|·|OA|=·2p·p=p，這也是一個(gè)不變量。同時(shí)S=mnsinθ，則p=·mn·sinθ，mn=，所以m+n=4p+，所以+==2(sinθ+cosθ)=2sin(θ+)。易知0<θ≤，則2sin(θ+)∈[2，2]，所求的最大值和最小值分別是2和2。

二、利用形的不變量去解決問題。

形的不變量包括點(diǎn)、線、面、軌跡等，它是較數(shù)的不變量稍復(fù)雜一點(diǎn)的不變量，往往與數(shù)形結(jié)合、運(yùn)動(dòng)極限等數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合在一起使用，在解決解析幾何、空間軌跡、三角函數(shù)等問題時(shí)，使解題達(dá)到一種意想不到的效果。

例4.△ABC中，BC=18，sinB+sinC=sinA，求△ABC面積的最大值。

解:由正弦定理得AC+AB=BC=30，再由橢圓定義知，點(diǎn)A在以B和C為焦點(diǎn)，長軸長為30的橢圓上，這是形的不變量。易知當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，△ABC的面積最大，所求的最大值為·18·=108。

例5.已知直線l:x=ky+b(b>0)和拋物線c:y=2px(p>0)交于不同的兩點(diǎn)A、B，分別求出當(dāng)∠AOB為銳角、直角、鈍角時(shí)，b的取值范圍。

解:我們猜想∠AOB為直角時(shí)，b是一個(gè)不變量，即直線l過一個(gè)定點(diǎn)，這是一個(gè)形的不變量。

設(shè)AO:y=mx，BO:y=·x(m≠±1)。

由y=mxy=2px得A為(，)，同理，B為(2pm，-2pm)。則AB:y+2pm=(x-2pm)=(x-2pm)，易知(2p，0)是上述方程的解，此時(shí)AB過定點(diǎn)(2p，0)。m≠±1時(shí)，也滿足這一點(diǎn)。所以∠AOB為直角時(shí)，即直線l過定點(diǎn)(2p，0)，這是一個(gè)形的不變量，此時(shí)b=2p。

如圖2，當(dāng)∠AOB為鈍角時(shí)，在∠AOB內(nèi)作一直角∠A′OB′，其中點(diǎn)A′、B′在拋物線上c:y=2px。由圖易知，直線AB的橫截距小于直線A′B′的橫截距2p，所以此時(shí)02p。

例6.已知直線m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點(diǎn)的集合可能是:①一條直線，②一個(gè)平面，③一個(gè)點(diǎn)，④空集。其中正確的序號是。

解:因?yàn)閙∥n，則m、n確定一個(gè)平面，設(shè)為β，在平面β內(nèi)作m、n的平行線l，使l到m、n的距離相等，過l作平面γ⊥β，則到直線m、n的距離相等的點(diǎn)的集合為平面γ，這是一個(gè)形的不變量。抓住這個(gè)不變量，只需考查γ和γ的所有可能的位置關(guān)系情況，得出正確的序號是①、②、④。

三、利用性質(zhì)的不變量去解決問題。

性質(zhì)的不變量包括數(shù)的符號特性、數(shù)的奇偶特性及數(shù)列或函數(shù)的周期特性等。嚴(yán)格的說其中有些不是量，但它們在數(shù)學(xué)問題的解決中有著廣泛的運(yùn)用。

例7.若方程x-3ax+2=0(a>0)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍。

解:設(shè)f(x)=x-3ax+2，則y=f(x)的圖象和x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，f(x)的兩個(gè)極值異號，這是一個(gè)符號不變量。求得f′(x)=3x-3a，由f′(x)=0得x=±，知x=±時(shí)，f(x)有極值。由f()f(-)<0，得a>1。

例8.給定數(shù)列{a}，已知a=a=1，a=2，且對任意的自然數(shù)n都有aaa≠1，aaaa=a+a+a+a，求a+a+…+a。

解:由條件知aaaa=a+a+a+a

aaaa=a+a+a+a

則aaa(a-a)=a-a

(a-a)(aaa-1)=0

因?yàn)閍aa≠1，所以a=a，知數(shù)列{a}為周期數(shù)列，T=4這是一個(gè)性質(zhì)不變量。由已知求得a=4，則a+a+…+a=25(a+a+a+a)=200。

例9.現(xiàn)有一場大型會(huì)議，參加會(huì)議的人有過多次握手。握過奇數(shù)次手的人組成集合A，握過偶數(shù)次手的人組成集合B，求證:2|cardA。

證明:開始時(shí)，cardA=0，是一個(gè)偶數(shù)。如果A中的兩個(gè)人握手，則cardA減少2;如果B中的兩個(gè)人握手，則cardA增加2;如果A中的一個(gè)人和B中的一個(gè)人握手，則cardA不變。因此，在任何時(shí)刻cardA的偶數(shù)特性并沒有改變，這是一個(gè)性質(zhì)不變量。故命題得證。

四、構(gòu)造一個(gè)不變量或含有不變量的變化過程，運(yùn)用不變量原理去解決問題。

如果你面對的是一個(gè)棘手的、似乎也是靜態(tài)的問題，那么可以試著讓它動(dòng)起來，適當(dāng)構(gòu)造一個(gè)與原問題有聯(lián)系的動(dòng)態(tài)變化過程，使原問題成為變化過程中一種或某一時(shí)刻的特殊情況，并觀察其中是否有不變量。這樣做會(huì)對問題的解決有所幫助或啟示。

例10.在△ABC中，求證:sinA+sinB+sinC≤

證明:∠A、∠B、∠C是變化的，注意到等號成立當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=，因此構(gòu)造一個(gè)不變量sin，原問題轉(zhuǎn)化為證明:sinA+sinB+sinC+sin≤2。而sinA+sinB+sinC+sin=2sincos+2sincos≤2(sin+sin)=4sincos=4sincos(-)≤2。

當(dāng)且僅當(dāng)“=”成立時(shí)，A=B=C=。故原不等式得證。

例11.如圖4，三棱錐A—BCD中，AB=CD=4，BC=AD=5，AC=BD=x，則x的取值范圍是?搖?搖?搖。

解:首先易知1

如圖4，我們首先假想是一個(gè)平行四邊形，其中AB=CD=4，BC=AD=5，AC和BD交于O。接下來把平行四邊形ABCD沿AC折疊，在折疊過程中BO+OD是一個(gè)不變量，AC也是一個(gè)不變量為x，且折疊到某一狀態(tài)使之成為圖3。易知BO+OD>圖3中的BD，即AC，也是圖4中的AC，所以在圖4中，BD>AC，則∠ABC為銳角，故5+4-x>0得x<。上面說到，把平行四邊形ABCD沿AC折疊，且折疊到“某一狀態(tài)”使之成為圖3，使圖3中的AC=BD=x，那么這種假想的“某一狀態(tài)”是否存在呢?是否需要x再滿足什么條件?在圖3中，作BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，F(xiàn)G平行且等于BE。易知，∠GFD為二面角B—AC—D的平面角，設(shè)為θ，BG⊥GD，則:BD===。

把圖4沿AC繼續(xù)折疊，此時(shí)EF和DF是折疊過程中的不變量，當(dāng)θ越來越小時(shí)，線段BD越來越小，當(dāng)θ=0時(shí)，BD取得最小值。為使“某一狀態(tài)”存在，則必然BD的最小值EF>AC，則垂足E和F必落在線段AC內(nèi)(不包括A、C)。因此∠BCA和∠BAC都為銳角，只須BC=5對應(yīng)的角∠BAC為銳角，則4+x>5，x>3。所以x的取值范圍是3

例12.已知數(shù)列{a}中的每一項(xiàng)為1或-1，并且有S=aaaa+aaaa+…+aaaa。求證:4|n。

證明:我們考慮把某一個(gè)a換成-a，比如把a(bǔ)換成-a，則aaaa，aaaa，aaaa，aaaa都改變符號。如果四項(xiàng)中兩正兩負(fù)，則S不變;如果四項(xiàng)中三個(gè)同號，則S±4;如果四項(xiàng)同號，則S±8。開始時(shí)，S=0能被4整除，把某一個(gè)-1換成時(shí)，由上面的分析知S能被4整除的特征沒有改變，這是一個(gè)性質(zhì)不變量。一步一步地，把每一個(gè)-1換成1，最后得到S=n。易知4|n。

運(yùn)用不變量原理去解題時(shí)，首先要分析在變化過程中是否有不變量。這個(gè)不變量一般是數(shù)、形或性質(zhì)的不變量。其次是研究這些不變量對問題的解決有否幫助。最后是如何運(yùn)用不變量去解決你的問題。要做到以上三點(diǎn)并不是一件容易的事情，且主動(dòng)構(gòu)造一個(gè)不變量或含有不變量的變化過程，再運(yùn)用不變量原理去解決問題更是比較困難的。因此，最好的辦法是嘗試著用它去解決一些習(xí)以為常的問題，增強(qiáng)運(yùn)用不變量原理去解決數(shù)學(xué)問題的意識。從中你會(huì)有所感悟，同時(shí)它也會(huì)成為你解決某些問題的利器。