專升本考試中常見極限類型與計(jì)算方法的分析

摘 要: 高等數(shù)學(xué)是全國專升本入學(xué)統(tǒng)考科目，極限計(jì)算是其中的要求，本文通過實(shí)例對常見極限類型與計(jì)算方法進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞: 專升本考試 高等教學(xué) 極限類型 計(jì)算方法

高等數(shù)學(xué)是全國專升本入學(xué)統(tǒng)考科目之一， 極限計(jì)算是其中的要求。近年考試中，常見的極限計(jì)算類型有 “f(x)=f(x)”型、“”型、“”型、“1”型和“有界函數(shù)×無窮小”型等，各類型極限均有一般的解題思路與計(jì)算方法。因此，在計(jì)算極限題時，我要求學(xué)生先判別極限的類型，然后按各類型極限的解題方法進(jìn)行計(jì)算。我通過實(shí)例對專升本考試中常見極限類型與計(jì)算方法進(jìn)行了一些分析。

一、“f(x)=f(x)”型極限及其解法

對極限f(x)，若函數(shù)f(x)是初等函數(shù)并且在點(diǎn)x處有定義，則有f(x)=f(x)，此時稱極限為“f(x)=f(x)”型。此類極限通過f(x)是否有意義進(jìn)行判定和求解，是十分常見的極限類型。因此，凡是計(jì)算初等函數(shù)f(x)在某一點(diǎn)x處的極限，即計(jì)算f(x)時，均需先判定f(x)是否有意義。

例1:求極限。(2009年填空題)

分析:設(shè)f(x)=，因?yàn)閒(1)==0，所以極限為“f(x)=f(x)”型。

解:=f(1)=0。

例2:求極限e。(2008年選擇題)

分析:設(shè)f(x)=e，因?yàn)閒(0)=e=1，所以極限為“f(x)=f(x)”型。

解:e=f(0)=e=1。

二、“”型極限及其解法

對極限，若自變量x→△(△表示x或∞)時，分子f(x)→0、分母g(x)→0，則形象地稱極限為“”型。例如極限，當(dāng)自變量x→0時，分子f(x)=e-e→0、分母g(x)=x→0，所以極限是“”型極限。

“”型極限的解法有如下三種情形:

情形1:中不含有三角函數(shù)，且f(x)與g(x)是同類型函數(shù)時，常可通過分解因式(或有理化)后，消去分子分母中“趨向于0”的公因式，化為“f(x)=f(x)”型極限求解。

情形2:中含三角函數(shù)時，常可用重要極限=1求解。

情形3:f(x)與g(x)是不同類型函數(shù)且可導(dǎo)時，常可用羅必達(dá)法則求解，即lim=lim。

例3:求極限。(2007年解答題)

分析:當(dāng)自變量x→0時，分子f(x)=-1→0、分母g(x)=x→0，極限為“”型且符合情形1，可用“消去法”求解。

解:====0。

例4:求極限。(2009年解答題)

分析:極限為“”型極限，f(x)與g(x)是不同類型函數(shù)且可導(dǎo)，符合“”型極限中的情形3，用羅必達(dá)法則求解。

解:===(e+e)=2。

例5:求極限。(2007年選擇題)

分析:當(dāng)自變量x→0時，分子f(x)=sinx→0、分母g(x)=x→0，極限為“”型且含有三角函數(shù)，符合“”型極限中的情形2。

解:=·sinx=·sinx=1×sin0=0。

例6:已知f′(x)=1，求。(2006年選擇題)

分析:當(dāng)自變量h→0時，分子f(x+2h)-f(x)→0、分母h→0，極限為“”型，符合情形3，可用羅必達(dá)法則求解。

解:===2f′(x)=2。

三、“”型極限及其解法

對極限，若自變量x→∞時，分子f(x)→∞、分母g(x)→∞，則稱極限為“”型。例如極限，當(dāng)自變量x→∞時，分子f(x)=2x+x-1→∞、分母g(x)=4x-x+3→∞，所以極限為“”型。“”型極限常用的解法是分子分母同時除以它們中“最大的變量”。

例7:求極限。(2003年解答題)

分析:因?yàn)樽宰兞縳→∞時，分子f(x)=x+2→∞、分母g(x)=3x-4sinx→∞，極限是“”型，需分子分母同除以它們中“最大的變量x”。

解:==。

例8:求極限。(2004年解答題)

分析:極限是“”型，需分子分母同除以它們中“最大的變量x”。

解:==。

四、“1”型極限及其解法

對極限lim(1+)，若在給定自變量的變化趨勢下，(1+)，即底數(shù)部分(1+)→∞、指數(shù)部分W→∞，則極限俗稱為“1”型。如極限(1-)中，當(dāng)自變量x→∞時，底數(shù)部分(1-)→1、指數(shù)部分x→∞，因此極限是“1”型。“1”型極限(1+)=e需用重要極限求解，通常可分為兩個步驟:

第一步:通過變形或代換的方式，將所給極限化成(1+)形式;

第二步:根據(jù)重要極限(1+)=e，可求得(1+)=e。

例9:求極限(1+x)。(2009年填空題)

分析:因?yàn)樽宰兞縳→0時，底數(shù)部分1+x→1、指數(shù)部分-→ ∞ ，所以極限為“1”型。

解:(1+x)=(1+)[(1+)]=e。(其中:作代換t=)

例10:求極限(1-)。(2005年填空題)

解:(1-)=[(1+)]=e。

五、“有界函數(shù)×無窮小”型極限及其解法

對極限f(x)g(x)=0(△表示x或∞)，若f(x) =0且|g(x)|≤M，則稱極限為“有界函數(shù)×無窮小”型，其解為:f(x)g(x)=0。

例10:求極限。(2009年選擇題)

分析:因?yàn)?·sin2x，而=0，且|sin2x|≤1，極限為“有界函數(shù)×無窮小”型。

解:=·sin2x=0。

從以上分析可以看到，近年專升本考試中常見的極限類型有“f(x)=f(x)”型、“”型、“”型、“1”型和“有界函數(shù)×無窮小”型等。解答題中以“”型極限較為多見，須注意羅必達(dá)法則的應(yīng)用。選擇和填空題中，重點(diǎn)關(guān)注兩個重要極限=1與(1+)=e的應(yīng)用。在計(jì)算極限題時，一定要先通過觀察法判定極限的類型，然后按照各類型極限的解題方法進(jìn)行計(jì)算。