連續系統幾種分析方法的簡單講解

摘 要: 本文通過對同一道例題使用連續系統的幾種分析方法，即時域分析、頻域分析、復頻域(s域)分析方法分別求解，以幫助學生理解各種分析方法的內容，掌握各種分析方法的特點，達到靈活運用、融會貫通的目的。

關鍵詞: 信號與線性系統分析課程 “線性非時變連續系統的分析” 分析方法

1.引言

在信號與線性系統分析課程的教學中，部分專業學時分配較少，在較短的教學時間內讓學生快速輕松地掌握教學內容有一定的難度。對于“線性非時變連續系統的分析”這部分教學環節，教材上每種分析方法例題都不相同，講解費時費力，且學生不易理解和區別。我利用一道簡單的例題，用各種方法來分析它，使學生能夠快速地掌握這部分的學習任務。例題如下:描述某LTI系統的微分方程為:y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t)。已知:y(0-)=2，y′(0-)=1，，f(t)=ε(t)，求該系統的零輸入響應、零狀態響應和全響應。

2.連續系統的幾種分析方法

2.1連續系統的時域分析法

所謂連續系統的時域分析法是對于給定的激勵，根據描述系統響應與激勵之間關系的微分方程求其響應的方法。下面是對例題的求解。

解:(1)零輸入響應

y(t)滿足方程

y″(t)+3y′(t)+2y(t)=0

上式的特征根λ=-1，λ=-2故零輸入響應為

y(t)=Ce+Ce

將初始代入上式及其導數，得

y(0+)=C+C=2

y′(0+)=-C-C=1

解得

C=5，C=-3

所以系統的零輸入響應為:

y(t)=5e-3e，t≥0

(2)零狀態響應

y(t)滿足方程

y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)

以及初始狀態y(0-)=y′(0-)=0

先求y(0+)和y′(0+)，

由于上式等號右端含有δ(t)，令

y″(t)=aδ(t)+r(t)

積分(從-∞到t)得

y′(t)=r(t)

y(t)=r(t)

從而可求得a=2。

y′(0+)-y′(0-)=a=2

y(0+)-y(0-)=0

解上式，得

y′(0+)=2，y(0+)=0

對于t?搖f?搖0，式y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)可寫為

y″(t)+3y′(t)+2y(t)=6

不難求得其齊次解為Ce+Ce，其特解為常數3。于是有

y(t)=Ce+Ce+3

將初始值代入上式及其導數，得

y(0+)=C+C+3=0

y′(0+)=-C-2C=2

由上式可求得，

C=-4，C=1

得系統的零狀態響應為:

y(t)=-4e+e+3，t≥0

(3)全響應

系統的全響應為:y(t)=y(t)+y(t)

=e-2e+3，t≥0

2.2連續系統的頻域分析法

所謂連續系統的頻域分析法是用傅里葉分析法研究激勵與響應在頻域中的關系。下面用頻域分析法分析上述例題的零狀態響應。

解:令f(t)?圮F(jω)，y(t)?圮Y(jω)，對方程取傅里葉變換，得:

jωY(jω)+3jωY(jω)+2Y(jω)=2jωF(jω)+6F(jω)

由上式可得該系統的頻率響應函數H(jω)+

由于f(t)=ε(t)?圮F(jω)=+πδ(ω)，故有:

Y(jω)=H(jω)F(jω)=-+

取傅里葉逆變換，得系統放入零狀態響應:

y(t)=-4e+e+3，t≥0

2.3連續系統的s域分析法

所謂連續系統的s域分析法是用拉普拉斯分析法研究激勵與響應在復頻域中的關系。下面用s域分析法分析上述例題。

解:對微分方程取拉普拉斯變換，可得:

sY(s)-sy(0-)-y′(0-)+3sY(s)-3y(0-)+2Y(s)=2sF(s)+6F(s)

可解得

Y(s)=Y(s)+Y(s)=+F(s)

將F(s)=L[u(t)]=和各初始值代入上式，得:

Y(s)==-

Y(s)=g=-+

對以上二式取逆變換，得零狀態響應和零輸入響應分別為:

y(t)=5e-3e，t≥0

y(t)=-4e+e+3，t≥0

所以系統的全響應為:

y(t)=y(t)+y(t)=e-2e+3，t≥0

或直接對Y(s)取拉氏反變換，亦可求得全響應。

3.結語

通過以上例題，我們可以得出如下結論:連續系統的時域經典分析法概念清楚，易于理解，缺點是計算比較繁瑣;連續系統的頻域分析法計算簡便，缺點是不能分析給定初始狀態的線性系統，有些重要的信號不存在傅里葉變換;連續系統的s域分析法可克服上述兩種分析方法的缺點，不僅計算簡便，而且可以同時求得系統的零輸入響應、零狀態響應和全響應。

參考文獻:

[1]吳大正.信號與線性系統分析[M].北京:高等教育出版社，2005.

[2]管致中.信號與線性系統分析[M].北京:高等教育出版社，2004.