反證法在線性代數(shù)解題中的應(yīng)用舉例

數(shù)學(xué)證明方法可分為直接證法和間接證法。從原命題所給的條件出發(fā)，根據(jù)已有的公理、定義、法則、公式，通過(guò)一系列的推理，一直推導(dǎo)到所要證明的命題的結(jié)論，這種證法叫做直接證法。有些命題不易用直接證法去證明，這時(shí)可通過(guò)證明它的等價(jià)命題真，從而斷定原命題真，這種證法叫做間接證法。反證法是數(shù)學(xué)中常用的間接證法之一。

一、反證法

既然反證法是間接證法，那么反證法也是通過(guò)證明原命題的等價(jià)命題從而證明原命題的。反證法是指:“證明某個(gè)命題時(shí)，先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過(guò)推理，得出與已知事實(shí)(條件、公理、定義、定理、法則、公式等)相矛盾的結(jié)果。這樣，就證明了結(jié)論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結(jié)論成立。”這種證明的方法，叫做反證法。運(yùn)用反證法證題一般分為以下三個(gè)步驟。

1.假設(shè)命題的結(jié)論不成立;

2.從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾;

3.由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。

即:提出假設(shè)—推出矛盾—肯定結(jié)論。

反證法在線性代數(shù)解題中的應(yīng)用非常廣泛，但什么時(shí)候應(yīng)該使用反證法，證明哪些命題適宜使用反證法，都沒(méi)有一定的規(guī)律可循。原則上說(shuō)，應(yīng)該因題而異、以簡(jiǎn)為宜。首先從正面考慮，當(dāng)不易證明時(shí)，再?gòu)姆疵婵紤]。當(dāng)由假定原命題結(jié)論的否定成立去推出矛盾比證明原命題更容易時(shí)，就應(yīng)該使用反證法。

二、反證法在解線性代數(shù)題時(shí)的應(yīng)用

1.對(duì)于結(jié)論是否定形式的命題，宜用反證法。

由于定義、定理等一般是以肯定的形式出現(xiàn)，因此用它們直接證明否定形式的命題可能會(huì)有困難。但否定的反面是肯定，因而從結(jié)論的反面入手，即用反證法來(lái)證會(huì)比較方便。

例1.設(shè)矩陣A的特征值λ≠λ，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α、α，證明:α-α不是A的特征向量。

證明:假設(shè)α-α是矩陣A的特征向量，則存在數(shù)λ，使A(α-α)=λ(α-α)=λα-λα。又由題設(shè)條件可知Aα=λα、Aα=λα，于是A(α-α)=Aα-Aα=λα-λα，則有λα-λα=λα-λα，即(λ-λ)α+(λ-λ)α=0。因α、α是屬于不同特征值的特征向量，故α、α線性無(wú)關(guān)，則λ-λ=λ-λ=0，也即有λ=λ。與題設(shè)λ≠λ矛盾，所以α-α不是A的特征向量。

2.對(duì)于證明結(jié)論是“肯定”或“必然”的命題，宜用反證法。

即命題結(jié)論中出現(xiàn)“等于什么”、“必然是什么”、“一定是什么”等形式，而且從反面較易入手解題時(shí)，可考慮使用反證法。

例2.若λ不是A的一個(gè)特征值，則矩陣λE-A一定是可逆矩陣。

證明:用反證法，即設(shè)矩陣λE-A不可逆，則行列式|λE-A|=0，說(shuō)明λ是特征方程|λE-A|=0的根，也即說(shuō)明λ是A的一個(gè)特征值，與已知矛盾。所以矩陣λE-A一定是可逆矩陣。

例3.設(shè)β可由α，α，…，α線性表出，但不能由α，α，…，α線性表出，證明α一定可由β，α，α，…，α線性表出。

證明:用反證法，由題設(shè)可知，存在一組常數(shù)k，k，…，k，使得β=k，α+kα+…+kα。假設(shè)k=0，則存在一組常數(shù)k，k，…，k，使得β=kα+kα+…+kα成立，所以β可由α，α，…，α線性表出，這與題設(shè)矛盾，即k≠0;所以α=β+(-)α+(-)α+…+(-)α，即α一定可由β，α，α，…，α線性表出。

3.對(duì)于證明結(jié)論是“惟一”或“必然”的命題，宜用反證法。

即命題結(jié)論要求證明某元素是“惟一”或某種表示方式是“惟一”的，而直接去找某個(gè)元素或某種表示方式比較困難時(shí)，則可考慮從其反面入手。

例4.設(shè)向量β可由向量組α，α，…，α線性表出，證明:表示式惟一的充分必要條件是向量組α，α，…，α線性無(wú)關(guān)。

證明:由題設(shè)，存在常數(shù)k，k，…，k，使得kα+kα+…+kα=β(1)。

證明充分性:設(shè)向量組α，α，…，α線生無(wú)關(guān)，來(lái)證β由α，α，…，α的線性性表示式惟一。

假設(shè)β由α，α，…，α的線性表示式不惟一，設(shè)還有線性表示式為lα+lα+…+lα=β(2)。則k≠l(i=1，2，…，m)，則(1)式與(2)式相減得:

(k-l)α+(k-l)α+…+(k-l)α=0。

由于α，α，…，α線性無(wú)關(guān)，故得k-l=0，即k=l(i=1，2，m)。這與k≠l(i=1，2，…，m)矛盾，即β由α，α，…，α線性表示式是惟一的。

證明必要性:設(shè)線性表示式(1)惟一，來(lái)證α，α，…，α線性無(wú)關(guān)。

假設(shè)α，α，…，α線性相關(guān)，則存在一組不全為0的數(shù)λ，λ，…λ，使得λα+λα+…+λα=0(3)。則(1)式與(3)式相加得:(k+λ)α+(k+λ)α+…+(k+λ)α=β。因?yàn)棣耍耍瞬蝗珵?，從而存在β的兩種不同表示方法，這與β由α，α，…，α的線性表示式惟一矛盾，因此向量組α，α，…，α線性無(wú)關(guān)。

4.對(duì)于證明結(jié)論是“至少什么”或“至多什么”的命題，宜用反證法。

例5.試證:向量組α，α，…，α(其中α≠0，s≥2)線性相關(guān)的充分必要條件是至少有一個(gè)向量α(1≠i≤s)可以被α，α，…，α線性表出。

證明充分性:設(shè)有向量α可以由α，α，…，α線性表出，則α，α，…，α線性相關(guān)。由于α，α，…，α是α，α，…，α的一個(gè)部分組，所以α，α，…，α線性相關(guān)。

證明必要性:用反證法，假設(shè)每個(gè)α(1≠i≤s)都不能由α，α，…，α線性表出。我們接下來(lái)來(lái)證明α，α，…，α線性無(wú)關(guān)，設(shè)有一組數(shù)k，k，…，k，使得kα+kα+…+kα=0(1)，

則必有k=0，否則k≠0時(shí)，α可由α，α，…，α線性表出，與假設(shè)不符。這樣(1)式成為kα+kα+…+kα=0。同理可推出k=0，…，k=0，因此(1)式成為kα=0。

又已知α≠0，故得k=0。所以向量組α，α，…，α線性無(wú)關(guān)，與必要性的題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立。即至少有一個(gè)向量α可以由α，α，…，α線性表出。

5.對(duì)于某些逆命題的正確性，可用反證法。

當(dāng)原命題與其逆命題都成立時(shí)，其逆命題的正確性可用反證法來(lái)證明。

例6.設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。試證:r(A)=n的充分必要條件是存在矩陣B，使AB+BA是正定矩陣。

證明必要性:由r(A)=n知A是可逆矩陣，取B=A，則有AB+BA=AA+(A)A=AA+(A)A=2E為正定矩陣。

證明充分性:用反證法，假設(shè)r(A)≠n，則n元齊次線性方程組AX=0有非零解，即有X≠0，使AX=0，也就有XA=0。由(AB+BA)=BA+AB=AB+BA，說(shuō)明AB+BA是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。

上述X≠0時(shí)，f=X(AB+BA)X=0，與AB+BA是正定矩陣矛盾，所以r(A)=n。

參考文獻(xiàn):

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