數列問題中易錯題型剖析

摘 要: 在數列的教學過程中，本文作者發現有幾類問題是學生的誤區，極易造成錯解，從而大大影響了解題的正確性。作者對易錯點進行了歸納與剖析。

關鍵詞: 數列問題 易錯點 剖析

數列是刻畫離散現象的數學模型，我們在日常生活中會遇到很多問題需要用數列模型去解決。數列是高中數學的重要內容，數列問題以其多變的形式和靈活的求解方法備受高考命題者的青睞。而在數列的教學過程中，我發現有幾類問題是學生的誤區，極易造成錯解，而大大影響了考試的準確性，現將易錯點歸納如下，并加以剖析。

一、不能正確理解等差數列的性質

【易錯點解讀】在等差數列中{a}，若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則a+a=a+a，在解題中會誤認為a=a+a。

例題:設{a}是等差數列，a=q，a=p，p≠q，試求a。

錯解:∵{a}是等差數列，

∴a=a+a=p+q。

分析:錯誤的原因是不能正確理解等差數列的性質。

正解1:設公差為d，則a=a+(p-q)d，

∴d===-1，

∴a=a+(q+p-p)d=q+q×(-1)=0。

正解2:∵a=a+(p-1)d，a=a+(q-1)d，

∴a+(p-1)d=q①a+(q-1)d=p②，

①-②得(p-q)d=q-p，

∵p≠q，∴d=-1，

代入①，有a+(p-1)×(-1)=q，

∴a=p+q-1，

故a=a+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1)×(-1)=0。

二、錯用等差數列前n項和的性質

【易錯點解讀】等差數列{a}的前m項和S，與S-S，S-S成等差數列，但在解題中常常誤認為S，S，S成等差數列而導致解題出錯。

例題:設等差數列{a}的前n項和為S，已知=，求

錯解:令S=k，S=3k，則S=k，S=7k，

∴==

分析:因為本題中數列{a}為等差數列，所以S，S-S，S-S，S-S成等差數列，而并非S，S，S，S成等差數列。

正解:令S=k，S=3k，故S-S=2k。

∴S-S=3k，即S=6k，

S-S=4k，即S=10k，

∴==。

三、利用數列前n項和S求通項a時，忽略條件n≥2

【易錯點解讀】利用a=S-S(n≥2)求通項時，對于a需要進行驗證說明，若符合a的表達式，可利用一個表達式表示;若不符合，則需要用兩個表達式分段表示，而在解題中常常忽略條件n≥2而不檢驗a是否符合a的式子，從而出錯。

例題:已知數列{a}，a=1，S=n-2n+1，求a。

錯解:∵a=S-S

=n-2n+1-(n-1)+2(n-1)-1

=n-2n+1-n+2n-1+2n-2-1

=2n-3

∴a=2n-3(n∈N)

分析:題中所用關系式a=S-S，只有當n≥2時才成立，錯解中忽略了這個條件，所以出錯。

正解:a=S-S(n≥2)

=n-2n+1-(n-1)+2(n-1)-1

=n-2n+1-n+2n-1+2n-2-1

=2n-3

當n=1時，a=1不滿足上式，

∴a=1(n=1)2n-3(n≥2)

四、忽略公比的取值范圍

【易錯點解讀】在解題的過程中往往會由于設法不當無形中限制了q的范圍，從而使解題出錯。

例題:已知一個等比數列的前四項之積為，第二、三項的和為，求這個等比數列的公比。

錯解:設這四個數分別為，，aq，aq，

則a=①+aq=②，

由①得a=±，代入②得q±2q+1=0，

解得q=±1或q=-±1。

∴所求等比數列的公比為q=3+2或3-2。

分析:從表面上看，這種解法正確無誤，但認真檢查整個解題過程后發現，由于設這四個數分別為，，aq，aq公比為q就等于規定了這個等比數列中的各項要么同為正，要么同為負，而此題中無此規定，錯誤就出現在這里。

正解:設這個等比數列的前四項分別為a，aq，aq，aq，

則aq=aq+aq=，

解得q=3±，或q=-5±2。

五、忽略題中的隱含條件

【易錯點解讀】在利用a=S-S求通項公式時，往往容易忽略它成立的前提條件為n≥2，這時應檢查n=1時是否滿足此通項公式，否則應寫成分段函數形式。

例題:已知數列{a}的前n項和為S=3n+n+1，求此數列的通項a。

錯解:a=S-S=3n+n+1-[3(n-1)+(n-1)+1]=6n-2。

分析:忽略了使用a=S-S的條件是n≥2，沒有檢驗n=1時是否成立。

正解:∵a=S-S=6n-2(n≥2)，

當n=1時，a=S=5，不符合上式，

∴a=5，n=16n-2，n≥2。