巧妙建模型 輕松求最值

〔關(guān)鍵詞〕 無理函數(shù)；最值；求解；幾何模型；構(gòu)造

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2010）10（B）—0050—02

1.動(dòng)點(diǎn)在直線上

例1 求函數(shù)f（x）=■+■的最小值.

解析:易知函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)椤?■可看作點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（-2，■）的距離，■=■可看作點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)B（1，■）的距離，于是求原函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化成了求x軸上的動(dòng)點(diǎn)P（x，0）與兩定點(diǎn)A（-2，■）、B（1，■）距離之和的最小值，則構(gòu)造模型求解（如圖1）.由平面解析幾何知識(shí)知，點(diǎn)A（-2，■）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′（-2，-■），故P點(diǎn)為直線A′B與x軸的交點(diǎn)時(shí)，所求的距離最小，且最小值為|A′B|.又|A′B|=■=■，所以fmin（x）=■.

點(diǎn)評(píng):對(duì)于形如f（x）=■+■（x∈R）的函數(shù)求其最值，通過構(gòu)造幾何模型，可轉(zhuǎn)化為求x軸上的動(dòng)點(diǎn)（x，0）與兩定點(diǎn)距離和（差）的最值.

2.動(dòng)點(diǎn)在圓上

例2 求函數(shù)f（x）=■ 的最大值和最小值.

解析：易知函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，1]，設(shè)u=x，v=■，則u2+v2=1（0≤v≤1），函數(shù)變?yōu)閒（x）=■，從而求函數(shù)f（x）的最值轉(zhuǎn)化成了求過圓心為O（0，0）、半徑為1的上半圓上的動(dòng)點(diǎn)P（u，v）與定點(diǎn)Q（3，-2）的直線的斜率的最值，則構(gòu)造模型求解（如圖2）.由平面解析幾何知識(shí)可知，A（-1，0）， kAQ=■=-■.設(shè)切線BQ的方程為y+2=k（x-3），即kx-y-3k-2=0，而圓心O（0，0）到半圓的切線BQ的距離為1，即■=1，解得k=-■，k=■（舍去）.根據(jù)圖2可知，kBQ≤kPQ≤kAQ，所以fmax（x） = kAQ = -■，fmin（x）=kBQ=-■.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于求形如f（x）=■的函數(shù)的最值，通過構(gòu)造平面解析幾何模型，可轉(zhuǎn)化為求過二次曲線（圓或圓錐曲線上的部分曲線）上的任意點(diǎn)與定點(diǎn)（m，n）的直線的斜率的最值，借助平面解析幾何知識(shí)求出邊界直線的斜率，使問題得以解決.

3.動(dòng)點(diǎn)在橢圓上

例3求函數(shù)f（x）=■+■的最大值和最小值.

解析:易知函數(shù)的定義域?yàn)閇-2，6]，令u=■，v=■，則u2+2v2=16（0≤u≤4，0≤v≤2■），函數(shù)變?yōu)閒（x）=u+v，從而求函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化成了求過位于第一象限的橢圓上任意點(diǎn)P（u，v），斜率為-1的直線l：v=-u+f（x）的縱截距的最值，則構(gòu)造模型求解（如圖3）.直線l有兩個(gè)邊界位置：過點(diǎn)A（0，2■）的l1及橢圓的切線l2 . 由平面解析幾何知識(shí)可知，直線l1的縱截距為2■， 直線l2的縱截距為2■， 所以 fmax（x）=2■， fmin（x）=2■.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于求形如f（x）=■±■的函數(shù)的最值，通過構(gòu)造幾何模型，可轉(zhuǎn)化為求斜率為-1，過二次曲線（圓或圓錐曲線上的部分曲線）上任意點(diǎn)的直線的縱截距的最值，借助平面解析幾何知識(shí)求出邊界直線的縱截距，使問題得以解決.（若形如上述的函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值.）

4.動(dòng)點(diǎn)在雙曲線上

例4（2001年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）求函數(shù)y=x+■的值域.

解析：易知函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤1或x≥2}，設(shè)u=x， v=■=■， 則 （u-■）2-v2=■（v≥0），原函數(shù)變?yōu)閥=u+v，從而求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化成了求斜率為-1，過位于x軸上方的雙曲線上任意點(diǎn)P（u，v）的直線l：v=-u+y的縱截距的取值范圍，則構(gòu)造模型求解（如圖4）.直線l有3個(gè)邊界位置：過點(diǎn)（1，0）的l1、過點(diǎn)（■，0）的l2、過點(diǎn)（2，0）的l3 .由平面解析幾何知識(shí)可知，直線l1的縱截距為1，l2的縱截距為■，l3的縱截距為2，故所求函數(shù)的值域?yàn)閇1，■]∪[2 ，+∞）.

5.動(dòng)點(diǎn)在拋物線上

例5（1992年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）求函數(shù)f（x）=■-■的最大值.

解析：易知函數(shù)的定義域?yàn)镽， 配方，原函數(shù)變?yōu)閒（x）=■-■.求原函數(shù)的最大值可看作求動(dòng)點(diǎn)P（x，x2）到兩定點(diǎn)A（3，2）與B（0，1）的距離之差的最大值，點(diǎn)P為拋物線y=x2上的任意點(diǎn)，則構(gòu)造模型求解（如圖5）.由三角形兩邊之差小于第三邊知，|PA|-|PB|≤|AB|=■，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線且點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，上式取等號(hào)，所以fmax（x）=|AB|=■.

點(diǎn)評(píng)： 對(duì)于求形如 f（x） = ■±■（x∈R）的函數(shù)的最值，通過構(gòu)造幾何模型，可轉(zhuǎn)化為求拋物線上任意點(diǎn)與兩定點(diǎn)距離和（差）的最值.