尋找隱含條件 開拓解題思路

　　學生運用數學知識解決的實際問題一般有情節、數據和數量關系三個部分，缺一不可。情節是敘述實際問題的事實部分，數據是列式的材料，而數量關系則是列式的依據。有些實際問題，列式需要的個別數據往往隱含于情節之中，成為隱含的條件，學生感到無從下手，這就需要認真審題，深入分析思考，有時還需借助直觀，采用畫線段圖、模擬實驗等方法，才能發現隱含的條件，找到解決問題的途徑。
　　一、 利用常識性知識尋找隱含條件
　　如學習“年、月、日”這類常識性知識后，在解決實際問題時，時間這一條件常常隱含于事實的情節之中，出現隱含的條件。
　　（1）電視機廠計劃全年生產電視機2.5萬臺，實際提前2個月就完成了計劃的1.4倍。實際每月生產電視機多少萬臺？
　　（2）王師傅一月上旬生產了1160個零件，中旬生產了1196個零件，下旬每天生產124個零件。王師傅一月份平均每天生產多少個零件？
　　第（1）道題，根據題中的兩個條件“計劃全年生產電視機2.5萬臺”、“實際提前2個月就完成了計劃的1.4倍”，可以先求出全年實際生產電視機的臺數為2.5×1.4=3.5（萬臺）。題目要求的是“實際每月生產電視機多少萬臺”，這里隱含了全年一共12個月這一條件。題目中說提前2個月完成，實際用了10個月完成了3.5萬臺，求實際每月生產電視機的臺數，列綜合算式是2.5×1.4÷（12－2）=0.35（萬臺）。
　　第（2）道題，要求“王師傅一月份平均每天生產多少個零件”，必須知道王師傅一月份一共生產了多少個零件和一月份的天數。一月份的天數是一個隱含的條件，一月份是大月，共31天。題目中還已知“上旬生產了1160個零件，中旬生產了1196個零件，下旬每天生產124個零件”，下旬共生產的零件必須用每天生產零件的個數乘下旬的天數。因為一月份為大月，所以下旬為11天，下旬共生產了124×11=1364（個）零件。然后用一月份生產零件的個數除以一月份的天數，得平均每天生產零件的個數。列綜合算式為（1160＋1196+124×11）÷31= 120（個）。
　　也有的隱含條件是學生日常生活中非常熟悉的常識性知識。
　　（3）友誼飯店的停車場停放著24輛摩托車和小轎車，它們共有60個輪子。摩托車和小轎車各有多少輛？
　　根據生活常識知道，每輛摩托車有2個輪子，每輛小轎車有4個輪子，這是隱含的條件，找到這一隱含的條件，用假設法可以找到解題的途徑。把24輛車全部看成摩托車，那么應該有2×24＝48（個）輪子，比已知條件少了60－48＝12（個）輪子，一輛摩托車換成一輛小轎車需添上2個輪子，一共可以換成12÷2＝6（輛）小轎車，即小轎車有（60－2×24）÷（4－2）= 6（輛），摩托車有24－6=18（輛）。
　　當然，也可以把24輛車全都成小轎車，按同樣的道理列出不同的算式。如下：
　　 （4×24－60）÷（4－2）=18（輛）……摩托車
　　 24－18=6（輛）……小轎車
　　二、利用公式、性質等尋找隱含條件
　　隱含條件有時隱藏在一些公式、性質之中，需要學生對相關的公式、性質牢固的掌握，并能靈活地運用。
　　（4）陰影部分正方形的面積是3平方分米（如右圖），求圓的面積。
　　一般來講，要求圓的面積，需要知道圓的半徑，而圓的半徑是圖中正方形的邊長，這是一個隱含的條件。題目中已知正方形的面積是3平方分米，也就是邊長乘邊長的結果是3平方分米，而邊長乘邊長也就是半徑乘半徑，即r2是3平方分米。這樣就容易求出圓的面積，即3.14×3=9.42（平方分米）。
　　（5）下圖中兩個正方形的面積相差800平方厘米，那么兩個圓的面積相差多少平方厘米？
　　要求兩個圓的面積相差多少，一般情況，要知道兩個圓的半徑各是多少厘米，但題目中都是未知的。如果大圓的半徑用R表示，小圓的半徑用r表示，大圓的面積為πR2，小圓的面積為πr2，兩個圓相差面積為πR2－πr2=π（R2－r2）。題目的已知條件是兩個正方形的面積相差800平方厘米，大正方形面積是4R2，小正方形面積是4r2，也就是4R2－4r2=4（R2－r2）=800，即R2－r2=200（平方厘米），所以兩圓面積相差π（R2－r2）=3.14×200=628（平方厘米）。
　　三、 運用模擬實驗的方法發現隱含條件
　　模擬實際問題的敘述情節，用實驗的方法有利于發現隱含的條件，找到解題途徑。
　　（6）把一段4米長的長方體木料，平均鋸成5段，表面積增加了320平方分米。求每段木料的體積。
　　如果用胡蘿卜、甘薯之類的實物切削成長方體的形狀來代替木料，根據題意切成5段，可發現隱含的條件，切5段只要切4次，而每切一次就增加了2個橫截面，所以切4次就增加了2×4＝8（個）橫截面。根據題目已知條件“表面積增加了320平方分米”，這樣可以求出木料的橫截面面積為320÷8=40（平方分米）。題目所求的問題是“求每段木料的體積”，用每段的長乘橫截面面積，4米=40分米，每段的長為40÷5=8（分米），列綜合算式為40÷5×（320÷8）=320（立方分米）。
　　（7）一個長方體，如果高減少2分米就成為一個正方體，這時表面積比原來減少48平方分米。原來長方體的體積是多少立方分米？
　　這道題同樣可以用上述材料做模擬實驗，用胡蘿卜切削成長方體，如右圖。“如果高減少 2分米就成為一個正方體”，說明這個長方體的底面是一個正方形，四個側面都相同。高減2厘米，表面積減少了4個2分米高的側面，根據條件“表面積比原來減少48平方分米”，所以一個側面減少了48÷4=12（平方分米）。用12÷2=6（分米）可以求得原來長方體的長和寬，原來長方體的高為6＋2=8（分米）。這樣再求原來長方體的體積就不難了，即6×6×（6＋2）=288（立方分米）
　　（8）一堆鋼管最底層放20根，每往上一層就少放一根，如果頂層是12根，這堆鋼管共有多少根？
　　堆放的鋼管橫截面呈梯形，可利用梯形面積計算公式來計算：鋼管根數=（頂層根數＋底層根數）×層數÷2。但這道題中層數是一個隱含的條件，如果運用模擬實驗的方法，用鉛筆或其他圓柱形小棒代替鋼管來堆放，譬如底層放5根，每往上一層就少放一根，放到頂層是2根，可以找到這樣的規律：層數=底層根數－頂層根數＋1。這道題中，鋼管層數為20－12＋1=9（層）。這樣求鋼管的總根數就容易了，即（12＋20）×9÷2=144（根）。
　　四、運用畫線段圖的方法發現隱含條件
　　根據實際問題的敘述情節畫線段示意圖，不僅可以清楚地反映出數量關系，而且容易發現隱含的條件，開拓解題思路。
　　（9）小剛和妹妹二人同時由家去少年宮，小剛每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。小剛到少年宮門口時發現忘記帶乒乓球拍，立即由原路回家去取，行至離少年宮180米處和妹妹相遇。他們家離少年宮多遠？
　　如果運用畫線段圖的方法可以發現隱含的條件：當小剛到達少年宮門口立即又按原路返回，行至離少年宮180米處和妹妹相遇，小剛和妹妹兩人一共走了兩個全程。小剛共比妹妹多行了兩個180米，是360米，小剛比妹妹多走360米所用的時間，也就是小剛和妹妹所走的時間是360÷30=12（分）。所以，從家到少年宮的距離是（90+60）×12÷2=900（米）。
　　（10）甲、乙兩人分別自湖的東、西兩岸出發，勻速地向對岸游去，游到對岸后立即返回。已知兩人第一次相遇距湖的西岸800米，第二次相遇距湖的東岸600米，此湖東、西兩岸間的距離是多少米？
　　借助線段圖，就容易發現隱含的條件：兩人到第二次相遇，共行了3個全程。由于是勻速前進，根據已知條件“兩人第一次相遇，距湖的西岸800米”，可以推知：1個全程中乙行了800米，3個全程中共行了800×3＝2400（米）。第二次相遇時，乙行了1個全程加600米，所以，1個全程（湖東、西兩岸間的距離）是2400-600＝1800（米），列綜合算式是800×3-600=2400-600=1800（米）。
　　（責編藍天）