未知參數高階線性系統基于特征模型的卡爾曼濾波*

龔宇蓮，吳宏鑫

(1.北京控制工程研究所,北京100190; 2. 空間智能控制技術重點實驗室，北京100190)

未知參數高階線性系統基于特征模型的卡爾曼濾波*

龔宇蓮1,2，吳宏鑫1,2

(1.北京控制工程研究所,北京100190; 2. 空間智能控制技術重點實驗室，北京100190)

針對一類有量測噪聲的未知參數高階線性系統設計了基于特征模型的卡爾曼濾波器，改進了由于傳統卡爾曼濾波器在未知系統狀態轉移陣時應用的難題.在對高階線性系統的自適應控制中，利用建立系統的特征模型構造狀態轉移陣，結合卡爾曼濾波的思想對系統輸出進行濾波，使系統輸出以及控制量的性能得到極大的改善.通過對一個未知參數的高階線性系統仿真實驗驗證了此方法的有效性.

特征建模；黃金分割；自適應控制；卡爾曼濾波；高階線性系統

自適應控制發展半個多世紀以來，提出了大量的自適應控制方法，基本的自適應控制的結構是由模型的辨識和控制律的設計兩部分組成的.在高階線性系統的自適應控制中，量測噪聲一方面影響系統參數辨識的質量，另一方面噪聲經控制器嚴重放大，導致控制輸入性能惡化.文獻[1]作者提出在有量測噪聲時自適應控制對于控制量的要求不切實際的高.

因此要實現優良的控制，對信號在線濾波是必不可少的.針對參數已知，噪聲符合高斯分布的情形，卡爾曼濾波已取得了很好的成果[2].但卡爾曼濾波器需要確知系統狀態轉移陣，因此在參數未知的系統中難以運用.文獻[3]研究了系統參數含有不確定性時的濾波問題，提出了一種魯棒濾波器，但并沒有研究系統參數完全未知的情形.九十年代末，以序貫蒙特卡洛方法(SMC)為基礎，發展出了粒子濾波器[4-5](PF).然而盡管PF在理論上，不要求知道系統的狀態方程，只需要系統狀態量的先驗概率密度函數或構造一個重要性采樣函數，但在系統參數未知時概率密度函數難以獲得，重要性采樣函數的選取也沒有很好的方法，因此其應用也具有很大局限.目前，除了簡單的低通濾波器(LPF)外，針對系統參數未知情形下量測噪聲的濾波問題的研究仍然較為缺失.

本文針對系統參數未知的高階線性系統有量測噪聲情況下自適應控制性能惡化的問題，利用特征模型對系統輸入輸出的低階建模，結合卡爾曼濾波的思想，設計出基于特征模型的卡爾曼濾波器(CKF).本文第1部分對問題進行描述并介紹預備知識；第2部分設計基于特征模型的卡爾曼濾波器；第3部分仿真驗證；最后總結該濾波方法的優勢以及局限性.

1 問題描述及預備知識

1.1問題的描述

考慮一類有量測噪聲的未知參數高階線性系統：

其中，u為控制量，x為系統輸出，y為帶白噪聲e的量測值.

對系統(1)這類高階線性系統的跟蹤問題，在無噪聲情況下，基于特征模型的黃金分割自適應控制律[6-8]已經可以很好地解決，文獻[8]對于特征模型理論作了系統而詳盡的闡述，并列舉了大量工程應用實例.但在量測噪聲存在的情況，計算控制量所用到的反饋信號來源于有量測噪聲的測量值，因而計算得到的控制量會隨著帶噪聲信號劇烈變化.文獻[1]作者研究大型撓性航天器有量測噪聲情況下的自適應控制時，用仿真顯示了控制量劇烈抖動的情形.而目前大部份研究有量測噪聲情況下控制問題的論文中，作者都避免提及控制量的情形.因此，本文主要考慮如何通過對這類系統的量測值進行濾波，從而設計出較為平穩的控制量.

1.2卡爾曼濾波器

卡爾曼濾波方法[2]自上世紀中期提出以來，因其在解決有噪聲情況下的實時最優估計問題上的優勢，立即受到了工程界的重視.對于如下用狀態方程描述的線性系統：

如果系統狀態噪聲w(k)、量測噪聲v(k)符合零均值高斯分布，則系統狀態量的最優卡爾曼濾波器為：

卡爾曼濾波增益陣K(k)由下式遞推得到：

幾十年來，卡爾曼濾波的研究逐漸深入，然而現有的各種改進的卡爾曼濾波方法都要求已知系統的狀態轉移陣.在未知系統狀態轉移陣時，如果可以得知系統的階數，用辨識方法得到其系統參數，再利用辨識出的參數設計高階的卡爾曼濾波器，在理論上是一種解決方法.但是參數辨識以及計算卡爾曼濾波增益陣的時間復雜度都是R(n2).事實上，即使在系統參數已知的情況下，系統階數較高時，過高的計算量也影響了卡爾曼濾波器的應用.因此，如果可以將高階系統用低階狀態轉移方程描述，并以低階狀態轉移方程設計卡爾曼濾波器，將會為高階系統的實時濾波提供很好的解決途徑.

1.3高階線性系統的特征建模

對于高階線性系統的低階建模問題，特征建模理論[6-8]提供了很好的解決辦法.所謂特征建模，就是根據對象動力學特征、環境特征和控制性能要求相結合進行建模，而不僅以對象精確的動力學分析來建模，特征模型的特點如下：

(1)在同樣輸入控制作用下，對象特征模型和實際對象在輸出上是等價的(即在動態過程中能保持在允許的輸出誤差內)，在穩定情況下，輸出是相等的.

(2)特征模型的形式和階次除考慮對象特征外，主要取決于控制性能要求.

(3)特征模型建立的形式應比原對象的動力學方程簡單，易于控制器設計，工程實現容易、方便.

(4)特征模型與高階系統的降階模型不同，它是把高階模型有關信息壓縮到幾個特征參量之中，并不丟失信息，一般情況下特征模型用慢時變差分方程描述.

文獻[6]提出將高階線性系統化為二階時變差分方程的特征模型形式，并提出了黃金分割控制器，文獻[7]進一步證明，對于式(5)中的高階線性系統：

采樣時間足夠小的情況下，其特征模型可以描述為式(6)的慢時變二階差分方程形式：

x(k+1)=f1(k)x(k)+f2(k)x(k-1)+

遞推辨識方程如下：

D(k)=R(k-1)h(k)[hT(k)R(k-1)h(k)+λ]-1,

2 控制器設計

對于式(1)中的系統，根據特征建模理論，可以描述為如下的帶量測噪聲的二階時變差分方程形式：

將其特征模型化成狀態空間的形式：

其中：

P(k)=[I-K(k)C(k)]P(k|k-1)[I-K(k)

將此濾波方案結合黃金分割控制器[6]，構成自適應控制方案，其控制器結構為圖1所示.

圖1 基于特征模型的卡爾曼濾波器

在應用中，量測噪聲序列的方差陣可以根據量測裝置的統計特性得知，系統噪聲包含辨識參數的誤差造成的系統偏差，其大小很難得知，應用中可先設定一個較小的值.

3 仿真實驗

帶量測噪聲的高階線性系統：

其中：

系統(12)為一個高階線性系統.因此在采樣時間足夠小時，特征建模理論是成立的.設計控制器，將系統從0跟蹤到10.假設系統的量測噪聲e符合N(0,1)的正態分布.

采用式(9)中的辨識方法，構建圖1中的控制系統進行仿真.控制律采用基于特征模型的黃金分割控制律結合維持跟蹤和邏輯積分控制[6]：

黃金分割控制律：

ul(k)=

維持跟蹤控制律：

u0(k)=

邏輯積分控制律：

(19)

總的控制量:

(20)

其中：

仿真實驗中分別在不進行濾波、應用數字低通濾波器(LPF)以及應用基于特征模型的卡爾曼濾波器(CKF)的情況下進行實驗.仿真時間100s，采樣時間0.01s.考慮到過渡段低通濾波器對信號的跟蹤能力較弱，而基于特征模型的卡爾曼濾波器也需要一定的時間獲取系統特征模型的參數辨識值，因此在仿真前2s，都不使用濾波信號.3種情況下控制系統仿真實驗的系統輸出真值、量測信號、以及控制量的變化曲線分別為圖2～4.

圖2 無濾波控制仿真

圖3 LPF濾波控制仿真

圖4 CKF濾波控制仿真

圖5針對穩態時系統變化較小，將坐標放大，觀察3個方案的穩態性能.3個實驗在穩態階段(20s～100s)的系統輸出以及控制輸入的均值、方差由表(1)中列出.

圖6、圖7給出應用低通濾波器(LPF)和基于特征模型的卡爾曼濾波器(CKF)實驗中過渡段(0～10s)，CKF和LPF的濾波情況.

圖5 3種方案穩態輸出細節

圖6 LPF過渡段濾波情況

圖7 CKF過渡段濾波情況

圖8為LPF和CKF在穩態階段(20～100s)各自的系統輸出真值與控制量坐標放大的變化曲線.圖9列出了整個控制過程中，兩種濾波器濾波信號與系統真實輸出信號的偏差變化曲線.

從仿真圖以及表1的數據可以看出，基于特征模型的黃金分割控制器即使不經濾波也可以保證較高的系統輸出精度，但不經濾波的情況下，控制量的性能惡化，控制量輸入的均方根達到1.27,實際信號大約在均值的正負三倍均方根內變化(如圖2所示).控制量的劇烈變化對執行機構要求過高，甚至根本無法實現.

對比兩種濾波方案，在系統過渡段， 由于LPF是靠抑制信號帶寬實現對高頻干擾的濾波，因此LPF對信號的變化敏感性較弱，實驗中可以看出在系統過渡過段LPF的濾波信號與真值的偏差較大，如果繼續降低帶寬，偏差會繼續增大，從而嚴重影響系統動態性能.

圖8 穩態階段兩種濾波器對比

圖9 全過程濾波誤差情況

從圖8以及表1中的數據可以看出穩態階段用CKF濾波的系統輸出以及控制量輸入都比LPF要平穩.圖9全過程濾波誤差顯示出，基于特征模型的卡爾曼濾波器(CKF)無論過渡段還是穩態階段，濾波性能都優于簡單的低通濾波(LPF).由于平穩的濾波信號，使系統的自適應控制輸入輸出性能得到大大改善.

4 結 論

本文試圖通過對帶噪聲的量測信號濾波，以改善在有量測噪聲情況下的自適應控制性能惡化的問題.由于卡爾曼濾波器必需知道系統狀態轉移陣的局限性，本文針對線性系統參數未知情況，通過辨識系統特征模型參數構造二階的狀態轉移陣，探索了一種解決方案.同時，由于使用低階的特征模型，使得卡爾曼濾波器在高階系統中面臨的計算量過大問題得到改善.

由于本方法是基于特征模型而設計濾波器，需要特征模型的辨識參數構造狀態轉移陣,因此在特征建模理論不成立的情況下，還有待進一步研究.

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CharacteristicModel-BasedKalmanFilterfortheHighDimensionLinearSystemswithUnknownParameters

GONG Yulian1,2, WU Hongxin1,2

(1.BeijingInstituteofControlEngineering,Beijing100190，China; 2.ScienceandTechnologyonSpaceIntelligentControlLaboratory，Beijing100190，China)

In this paper, a characteristic model based Kalman filter (CKF) is designed for high dimension linear systems with unknown parameters. The proposed approach overcomes difficuties in the application of traditional Kalman filters in unknown parameter systems. By building the characteristic model of the high dimension system, a state transfer matrix is constituted， and the CKF is establishedin combination with the algorithm of Kalman Filter. The CKF is used to filter the output signal with measurement noise, the performance of the adaptive control of high dimension systems is improved, and simulation results prove the capability of this method.

characteristic model; gold section; adaptive control; Kalman filter; high dimension linear system

V249

A

1674-1579(2010)06-0016-06

*國家自然科學基金重點項目(60736023)及國家自然科學基金(60704014)資助項目.

2010-05-10

龔宇蓮(1985—), 女，四川人，助理工程師，研究方向為航天器自適應控制 (e-mail: yulianworld@hotmail.com).