幾何概型不“孤單”

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(華羅庚中學 江蘇金壇 213200)

幾何概型不“孤單”

●錢輝

(華羅庚中學 江蘇金壇 213200)

若事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型，它的特點是無限性和等可能性．在教學中，經常會遇到與其他多個知識點融合而形成的背景新穎、能力要求較高、構思獨特的幾何概型問題．

1 與隨機數(shù)相關的幾何概型

例1用計算機隨機產生有序二元數(shù)組(x,y)滿足0

(1)兩數(shù)之和大于1.2；

(2)兩數(shù)平方和小于0.25．

解(1)記“兩數(shù)之和大于1.2”為事件A，則x+y>1.2，因此事件A發(fā)生即表示點(x,y)落入圖1中的陰影部分.而點落在正方形內任一點的機會都是均等的，于是事件A的概率應等于陰影部分的面積與正方形面積之比，所以

圖1 圖2

2 與函數(shù)相關的幾何概型

例2函數(shù)f(x)=x2-x-2，x∈[-5,5],對任意x0∈[-5,5],使f(x0)≤0的概率為多少？

圖3

解記“任意x0∈[-5,5],使f(x0)≤0”為事件A，易知f(x)的2個零點為xC=-1,xD=2．在[-5,5]中任取一實數(shù)x即相當于在線段AB上任取1個點，事件A發(fā)生即恰好取到線段CD上一點，事件A包含的基本事件為圖3中線段CD的長度，所有基本事件為線段AB的長度,因此

3 與方程相關的幾何概型

例3設關于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，若a是區(qū)間[0，3]中任取的1個數(shù)，b是區(qū)間[0，2]中任取的1個數(shù)，求上述方程有實根的概率．

解(1)記“方程有實根”為事件A，在直角坐標平面上，坐標(a,b)表示的點均勻落在如圖4所示的矩形區(qū)域內，事件A發(fā)生即對應的點落在滿足Δ=(2a)2-4b2≥0的區(qū)域內,因此

圖4 圖5

4 與不等式相關的幾何概型

例4在集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}內任取1個元素，能使不等式2x+y-4≥0成立的概率是多少？

解記“不等式2x-y-4≥0成立”為事件A，如圖5所示，集合{(x,y)|0≤x≤5,0≤y≤4}為矩形內(包括邊界)所有點的集合，集合{(x,y)|2x+y-4≥0}表示坐標平面內直線2x+y-4=0右上方(包括直線)的點的集合，因此

5 與平面幾何相關的幾何概型

例5一只螞蟻在邊長為6的正方形區(qū)域內隨機地爬行，則其恰在離4個頂點距離都大于3的地方的概率為多少？

解記“螞蟻恰在離4個頂點距離都大于3的地方”為事件A，如圖6所示，螞蟻落在正方形區(qū)域內任一點是等可能的，而事件A發(fā)生即螞蟻落在了圖6中所示的空白部分，因此

圖6 圖7

6 與立體幾何相關的幾何概型

例6在1 L高產小麥種子中混入了一種帶麥銹病的種子，從中隨機取出10 mL，則取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？

解病種子在這1 L中的分布可以看作是隨機的，取得的10 mL種子可視作構成事件的區(qū)域，1 L種子可視作試驗的所有結果構成的區(qū)域，可用“體積比”公式計算其概率．

記“含有病種子”為事件A，則

因此取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是0.01．

7 與解析幾何相關的幾何概型

8 與算法相關的幾何概型

圖8

例8定義函數(shù)CONRND(a,b)是產生區(qū)間(a,b)上的任何一個實數(shù)的隨機數(shù)函數(shù)，如圖8所示的程序框圖可用來估計π的值．現(xiàn)在N輸入的值為100，結果m的輸出值為21，則由此可估計π的近似值為多少？

解在算法的流程圖中，A，B分別是產生在(-1，1)中的隨機數(shù)，故在直角坐標系中，由A，B組成的有序數(shù)組(A，B)為坐標的點落在“-11”的點表示落在了單位圓外(如圖8所示的陰影部分)，因此程序中輸出的值m即為落在圓外的點的個數(shù)，所以點落在圓外的概率為

即

解得

π≈3.16．

圖9 圖10

9 與集合相關的幾何概型

例9已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b·2x-1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}.若a,b∈R，求A∩B=φ的概率．

解因為a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a,b)對應的區(qū)域為邊長為2的正方形.令

f(x)=ax+b·2x-1,x∈[-1,0]，

則

f′(x)=a+bln2·2x.

因為

a∈[0,2]，b∈[1,3],

所以

f′(x)>0.

即

2a-b+2≤0.

所以滿足A∩B=φ的(a,b)對應的區(qū)域為如圖9中所示的陰影部分，于是

幾何概型雖然描述的是概率問題，可是它很容易與其他知識點相結合，以上通過幾個例子概括地敘述了這類問題的主要題型，其他的一些問題這里就不再累述了．