一類弱自相似集的強正則性

祝穎潤

(華南理工大學(xué) 理學(xué)院，廣東 廣州 510640)

0 引言

自相似集是目前研究得很深入的一類Fractal集，自相似集具有很好的性質(zhì)，特別是它們具有強正則性，即其Hausdorff維數(shù)與Bouligand維數(shù)相等[1].強正則集具有很好的運算性質(zhì)，例如：一個強正則集與任意一個集合的笛卡爾積的Haussdorff維數(shù)等于它們的Haussdorff維數(shù)的乘積[2].因此，研究集合的強正則性具有十分重要的意義.

1 記號，定義和主要結(jié)果

定義1 設(shè)X是d中的一個非空緊凸子集且滿足X=cl(intX).映射F∶X→X被稱為弱相似壓縮映射，如果它滿足以下性質(zhì)：(a)F是一個單射；(b)F是強可微的，F(xiàn)∈C1+ε(即存在ε>0和c>0，使得對任何x，y∈X，都有‖DF(x)-DF(y)‖≤c|x-y|ε成立，其中DF(x)是F在x處的Jacobian矩陣，‖DF(x)-DF(y)‖是算子DF(x)-DF(y)的范數(shù))；且對任意的x∈X，0<‖DF(x)‖<1.

下面是本文的主要結(jié)果.

定理1 設(shè)X是d中的一個非空緊凸子集且滿足X=cl(intX)，假設(shè)S是由X上的弱相似壓縮映射族生成的弱自相似集.如果對任意的i，j=1，2，…，m和x∈X.

‖DFi°Fj(x)‖=‖DFi(Fj(x))‖‖DFj(x)‖， ‖DFi(x)‖‖DFi(x)-1‖=1

(1.1)

其中DFi°Fj(x)表示D(Fi°Fj)(x)，那么dimBS=dimHS.

注1 若對任意的i=1，2，…，m，F(xiàn)i是保形映射(包含相似映射)，那么對任意的x∈X，DFi(x)是一個相似變換[3],即DFi(x)=ci(x)Ri(x)，其中ci(x)是一個關(guān)于x的函數(shù)，Ri(x)是一個正交矩陣，因此，容易獲得條件(1.1)成立.因此，該結(jié)果包含了自相似集和自保形集的情形.

注2 由于Cookie-Cutter集(定義見文獻[6])可以被看作是滿足強分離條件的弱自相似集，因此，通過應(yīng)用上述結(jié)果可以把1中的Cookie-Cutter集的強正則性推廣到高維空間中.

2 定理1的證明

為了證明定理，我們需要用到下面的幾個引理.

引理1 在定理的條件下，存在一個正常數(shù)b,使得對任何(i1，i2，…，ik)∈Ω*和x，y∈X，

(2.1)

引理1的證明由于對任意的i=1，2，…，m，DFi都是緊集X上的連續(xù)算子，且對任意的x∈X，0<‖DFi(x)‖<1;因此存在常數(shù)0

(2.2)

對函數(shù)log(x)應(yīng)用中值定理,利用定義1的條件(b)和不等式(2.2),可得

|log‖DFij(Fij+1°…°Fik(x))‖-log‖DFij(Fij+1°…°Fik(y))‖|=

因此,由導(dǎo)數(shù)的鏈條法則和條件(1.1),可得

|log‖DFi1°Fi2°…°Fik(x)‖-log‖DFi1°Fi2°…°Fik(y)‖|=

引理2 在定理的條件下，存在正常數(shù)b1和b2使得對任意的(i1，i2，…，ik)∈Ω*和任意的x∈X，

(2.3)

進一步，F(xiàn)i1°Fi2°…°Fik∶X→Xi1，i2，…，ik滿足對任意的x，y∈X,

(2.4)

并且對任意的j=1,2,…,m,

b2|Xi1,i2,…,ik|≤|Xi1,j2,…,jk,j|<|Xi1,j2,…,jk|

(2.5)

引理2的證明由于Fi1°…°Fik∶X→Xi1,…,ik是一個可微的同胚,且X是凸集,因此,由向量函數(shù)的中值定理,可得對任意的x,y∈X和u∈d,存在z∈X,使得u·{Fi1°…°Fik(x)-Fi1°…°Fik(y)}=u·{DFi1°…°Fik(z)(x-y)}.選取u=Fi1°…°Fik(x)-Fi1°…°Fik(y)，根據(jù)內(nèi)積的定義,

|Fi1°…°Fik(x)-Fi1°…°Fik(y)|≤‖DFi1°…°Fik(z)‖|x-y|

(2.6)

選取x，y∈X滿足|Xi1，i2，…，ik|=|Fi1°…°Fik(x)-Fi1°…°Fik(y)|，利用不等式(2.1),可得

|Xi1，i2，…，ik|≤eb|X|‖DFi1°…°Fik(w)‖， ?w∈X

(2.7)

對(Fi1°…°Fik)-1∶Xi1，…，ik→X，通過類似的討論并利用(1.1)可得，對任何x，y∈X，存在z0=(Fi1°…°Fik)-1(ω0)∈X，使得

‖DFi1°…°Fik(z0)‖|x-y|≤|Fi1°…°Fik(x)-Fi1°…°Fik(y)|

(2.8)

e-b|X|‖DFi1°…°Fik(w)‖≤|Xi1,i2,…,ik|, ?w∈X

(2.9)

選取b1=max{eb|X|，eb|X|-1},聯(lián)立(2.7)和(2.9)式可得(2.3)式.聯(lián)立(2.3)、(2.6)和(2.8)式，可得(2.4)式.對(Fi1°…°Fik°Fj)-1∶Xi1，i2，…，ik，j→X應(yīng)用向量函數(shù)的中值定理，通過類似的討論易得到(2.5)式左邊不等式成立，(2.5)式右邊不等式顯然成立，從而(2.5)式成立.

(2.10)

ar|x-y|≤|g(x)-g(y)| (x，y∈S).

因此，由隱含定理(見文獻[3])可得，集合S的Bouligand維數(shù)存在，且dimBS=dimHS.

致謝：本文是在導(dǎo)師吳敏教授的悉心指導(dǎo)下完成的，在此作者對她表示最誠摯的感謝.

參考文獻：

[1] 豐德軍，饒輝，吳敏.自相似集的強正則性[J].自然科學(xué)進展，1996(3)：287-289.

[2] 文志英.分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].上海：上海科技教育出版社，1998.

[3] Falconer K J.Techniques in Fractal geometry[M].New York: John Wiley and Sons,1997：51.

[4] Falconer K J.Fractal geometry:mathematical foundations and applications[M].New York: John Wiley and Sons,1990.

[5] Hutchinson J E.Fractals and self-similarity[J].Indiana Univ Math J,1981,30:713-747.

[6] Liang Jinrong,Yu Zuguo,Ren Fuyao.Messures and their dimension spectrums for ccookie-cutter sets ind[J].Acta Math Appli Sinica,2000,16:9-21.