自相似集的一類維函數

代玉霞

(湖北大學 數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430062)

0 引言

Peres,Simon,Solomyak在文獻[4]中證明了Hausdorff測度為0但填充測度正有限的自相似集的存在性.Hutchinson在文獻[5]中證明了在開集條件下，有 s=dimSE且Hs(E)>0.

其中dimSE為E的相似維數.

1 定義及記號

定義1 稱單調不減函數g:[0,∞)→[0,∞)為維函數，如果g右連續且g(t)=0當且僅當t=0.

定義2 設集E?,g為維函數，E的g-Hausdorff測度定義為,

其中

下確界取遍E的所有δ覆蓋(稱{Ui}為E的一個δ覆蓋，如果∪Ui?E且對任意i有|Ui|≤δ).

E的g-預填充測度定義為

其中

上確界取遍E的所有δ填充(稱不交球族{Bi}為E的一個δ填充，如果對任意i有xi∈E及|Bi|≤δ).

E的g-填充測度定義為

定義3 設{f1,…,fn}為中相似比依次為{c1,…,cn}的IFS，E為其生成的自相似集，即E為非空緊集且滿足.E的相似維數s=dimSE定義為方程的唯一解.稱{f1,…,fn}滿足開集條件(OSC)，如果存在非空開集V?,使得是不交并且含于V.

本文用Ik表示數字{1,2,…,n}生成的k項序列全體，I表示生成的有限序列全體.對序列σ=i1…ik∈Ik,σ|j表取σ的前j項所得的序列，σ*表去掉σ的最后一項所得序列，σ*i表在σ的末尾添一項i所得的序列，用fσ=fi1…fik表示復合，記cσ=ci1…cik.對集E?，記|E|為E的直徑.記Br為半徑為r的球.記#Q為集合Q的元素的個數.

2 定理及其證明

定理1 設集E?為由滿足OSC的生成的自相似集，其中fi的相似比為ci,0

(1)

則

為證明本文的結論，我們先引入下面幾個引理.其中引理1是一個基本的幾何事實.引理2是質量分布原理的一個推廣.

引理1[2]設{Vi}是的不交開子集族，每個Vi包含一個半徑為a1r的球且包含在一個半徑為a2r的球中，則任何半徑為r的球B至多與個Vi的閉包相交.

引理2[1]設集E?,μ是上的測度.若存在c>0,δ>0,使得任何集U?,|U|≤δ,有μ(U)≤cg(|U|),則Hg(E)≥μ(E)/c.

引理2的證明設{Ui}為E的一個δ覆蓋，則μ(E)≤μ(∪Ui)≤∑μ(Ui)≤c∑g(|Ui|).

引理3 滿足條件(1)的維函數g為加倍的，即存在常數α>1使得g(2t)≤αg(t).

從而g為加倍的.

注 加倍條件意味著對任意c>0,存在常數α>1使得g(ct)≤αg(t).

定理1的證明由于對集E?總有Hg(E)≤Pg(E)≤,只需證明不等式0

第1步，證明0

(1)估計下界.設I∞為{1,2,…,n}生成的無限序列的全體，對任意σ=i1…ik∈Ik,用Iσ表由I∞中那些以σ開頭的序列形成的柱集.在I∞上分布質量μ，使得 μ(Iσ)=g(cσ)=g(ci1…cik).

這樣定義的μ確實為I∞上的一個質量分布，因為由(1)式有

從而有

Qr=σ|k∶σ∈I∞,cσ|k|E|≤r

選取a1和a2使得V包含一個半徑為a1的球且包含在半徑為a2的球中,即Ba1?V?Ba2,則對任意σ=i1…ik∈Qr,fσ(V)包含一個半徑為ci1…cika1的球，因此也包含一個半徑為cmina1|E|-1r的球；同時包含在半徑為ci1…cika2的球中，因此也包含在半徑為a2|E|-1r的球中，即

Bcmin a1|E|-1r?fσ(V)?Ba2|E|-1r,

由引理1有

#Q≤(1+2a2)n(a1cmin)-n=M.

從而

(2)

其中c為正常數，最后一個不等號由g的加倍性質可得.

由引理2即得

令k→∞得Hg(E)<∞.這完成了第一步的證明.

(3)

(4)

對任意1≤i≤m,記xi∈E為Bi的中心，取σ∈I∞使得π(σ)=xi,則存在σ的一個前綴σ(i)∈I使得

(5)

可見hi=fσ(i)∶E→E∩Bi,并且對任意x,y∈E有

|hi(x)-hi(y)|=cσ(i)|x-y|.

則F是E的一個自相似子集.記φ(t)=g(t)tλ.因為g是加倍的，由引理3有φ(2t)≤2αφ(t),從而φ也為加倍的.對每個k，對每個 i1…ik∈Jk,定義

(6)

則μ為F上的一個質量分布.

任意U，U∩F≠?,|U|

(7)

則U最多與一個k級集hi1…ik(E)相交.

從而由(1)式及(3-7)式及g的加倍性得

其中b僅依賴于|E|、cmin及g的加倍常數,c為正常數.從而由引理2有

Hg(t)tλ(F)≥μ(F)/cd-λ>0,

致謝：這篇論文的完成得到了我的導師文勝友教授的建議、指導和鼓勵，在此表示最誠摯的謝意！

參考文獻：

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[4] Peres Y,Simon K,Solomyak B.Self-similar sets of zero Hausdorff measure and positive packing measure[J].Israel J Math,2000,117:353-379.

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[6] Falconer K J.Fractal geometry:mathematical foundations and applications[M].New York:Sping-Verlag John Wiley and Sons,1990.