Qn中的擬迷向超曲面

符欣悅，余瀾

(湖北大學 數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430062)

1 Qn中超曲面的Moebius度量

(1)

其中x=(x1,…,xn+1),y=(y1,…,yn+1)∈Rn+1.

其中x=(x1,…,xn+2),y=(y1,…,yn+2)∈Rn+2.

T([x])=[xT].T∈O(n+2,2).

以下均設M是一個m的維光滑流形，其中 m=n-1.

定理1[4]2-形式

(2)

是整體定義在M上的，稱為Moebius度量.

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

因此有

〈Δy,yk〉=〈tr(Hess(y)),yk〉=〈gijyi,j,yk〉=0

(8)

(9)

(10)

(11)

從而即證由(2)式定義的2-形式是整體定義在M上的.

現假定〈Δy,Δy〉-m2κ=ρ2≠0.存在Y=ρy,使得g=〈dY,dY〉,稱Y是x的一個標準提升.

在(2)式中取y∶=Y,得到

〈ΔY,ΔY〉=1+m2κ

(12)

(13)

由(8)和(9)式可得 〈Y,Y〉=0,〈Y,Yk〉=0,〈ΔY,Y〉=-m,〈ΔY,Yk〉=0,1≤k≤m

(14)

則計算可得

〈N,Y〉=1,〈N,N〉=〈N,Yk〉=0

(15)

(16)

(17-18)

對(16)、(17)、(18)式再微分一次，得到x:M→Qn的基本方程：

(19-21)

(22)

(23)

2 Lorentz空間,,的緊致化空間Qn

〈x,y〉=-x1y1+…+xnyn,?x=(x1,…,xn),y=(y1,…,yn)∈Rn.

3 Qn中的擬迷向超曲面

定義3 設x∶M→Qn是Qn中的一個超曲面，Y是x的標準提升.若?≡0,且存在M上的連續函數λ,μ使得A+λg+μB=0,則稱x是Qn中的擬迷向超曲面.

引理2[1]設x∶M→Qn是Qn中的擬迷向超曲面，則定義3中的函數λ,μ是常數.

由?≡0,A+λg+μB=0,得

Ci≡0,Aij+λδij+μBij=0

(24)

(25)

由(15)式可得〈c,Y〉=1,〈c,c〉=2λ+μ2,〈c,ξ〉=-μ.

考慮以下3種情況：(1)c是類時向量；(2)c是類光向量；(3)c是類空向量.

(0,…,0,r)=cT=NT+λYT-μξT

(26)

(27)

(2)c是類光向量.設〈c,c〉=2λ+μ2=0.此時存在T∈O(n+2,2)，使得cT=(0,…,0,1,1).不妨設c=(0,…,0,1,1),則(0，…，0，1，1)=CT=C=NT+λYT-μξT=N+λY-μξ,由(25)式即有

(28)

(29)

這樣即得到本文的結論.

在定義3中，若μ=0,則稱x是Qn中的迷向超曲面.當μ=0,n=3時，則有如下結論.

參考文獻：

[1] Li Haizhong,Wang Changping.Moebius geometry of hypersurface with constant mean curvature and scalar curvature[J].Manuscripta Math,2003:112:1-3.

[2] 龔曲華，龔家驤.Q3中的迷向曲面[J].福建師范大學學報：自然科學版，2005，21(2)：29-33.

[3] 陳維桓，李興校.黎曼幾何引論[M].北京：北京大學出版社，2002.

[4] Wang C P.Moebius geometry of subminifords inSn[J].Manuscripta Math,1998,96:517-534.