一類新的解析函數(shù)族

王歡

(湖北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

定義1[3]設(shè)函數(shù)f(z),g(z)在U內(nèi)解析，若存在一個(gè)施瓦茲函數(shù)φ(z),φ(z)在U內(nèi)解析，且滿足φ(0)=0,|φ(z)|<1,z∈U使得f(z)=g(φ(z)),則稱 f從屬于g,記為fg.

1 關(guān)于P1(a)的一些性質(zhì)

引理1[3]設(shè)f(z)與g(z)在U內(nèi)解析，g(z)在U內(nèi)單葉，若f(0)=g(0)且f(U)?g(U),則在U內(nèi)fg.

引理2 設(shè)q(z)∈P1(a),則q(z)

q(0)=1=g(0),q(U)?g(U),因此

q(z)

定理1的證明因?yàn)閝(z)∈P1(a),所以存在p(z)∈P,使

q(z)=a+(1-a)p(z)

(1)

定理2的證明因?yàn)閝(z)∈P1(a),所以q(z)g(z),其中.所以

故

定理3的證明在P與P1(a)之間建立映射為q(z)=a+(1-a)p(z),其中q(z)∈P1(a),p(z)∈P.此映射在P與P1(a)之間是一一對應(yīng)的，下證在EHP與EHP1(a)之間也是一一對應(yīng)關(guān)系.

設(shè)p(z)∈EHP，下證q(z)=a+(1-a)p(z)∈EHP1(a),令q(z)=tq1(z)+(1-t)q2(z).其中q1(z),q2(z)∈P1(a).0≤t≤1.q1(z)=a+(1-a)p1(z),q2(z)=a+(1-a)p2(z).其中p1(z),p2(z)∈P.

故有

a+(1-a)p(z)=q(z)=tq1(z)+(1-t)q2(z)=a+(1-a)[tp1(z)+(1-t)p2(z)],

所以p(z)=tp1(z)+(1-t)p2(z).

因?yàn)閜(z)∈EHP,所以p1(z)=p2(z).故有q1(z)=q2(z),即q(z)∈EHP1(a),且

類似地，若q(z)∈EHP1(a)，則p(z)∈EHP.

2 關(guān)于M(a) 與N(a)的一些性質(zhì)

定理4 設(shè)f(z)∈M(a),且|z|=r<1,則r(1-r)2(a-1)≤|f(z)|≤r(1+r)2(a-1),這個(gè)界是最好的，可在函數(shù)f*(z)=z(1-z)2(a-1)于點(diǎn)z=reiθ,0≤θ≤2π得到.

同理可得|f(z)|≥r(1-r)2(a-1).

(2)

(1-r)2(a-1)≤|f′(z)|≤(1+r)2(a-1)

(3)

這個(gè)界是最好的界,可在函數(shù)f**(z)=(1-z)2(a-1)于點(diǎn)z=reiθ,0≤θ≤2π得到.

定理5的證明因?yàn)閒(z)∈N(a),所以存在g(z)∈M(a)使zf′(z)=g(z),所以 r(1-r)2(a-1)≤|zf′(z)|≤r(1+r)2(a-1).所以(1-r)2(a-1)≤|f′(z)|≤(1+r)2(a-1).

為證明(2)式下界，設(shè)f(reiθ)=ReeiΦ,T={w:w=teiΦ,0≤t≤R},則f(U)?T,因此γ=f-1(T )是U內(nèi)從0到z的一條曲線.所以

由p(z)與μ的一一對應(yīng)關(guān)系可知f(z)與μ也是一一對應(yīng).

定理7的證明因?yàn)閒(z)∈M(a)所以存在一概率測度μ使

定理8 設(shè)Fa(z)=(1-z)2(a-1),(a>1),若fFβ,gFγ,則fgF(β+γ-1).

定理8的證明fFβ,等價(jià)于,等價(jià)于,同理可得,因?yàn)樵赨內(nèi)是單葉的凸函數(shù)，所以,這里0≤t≤1.

g(z)∈EHM(a),0≤t≤1,f(z)=tf1(z)+(1-t)f2(z),

類似地若f(z)∈EHN(a)，則g(z)∈EHM(a).

引理5[3]設(shè) P是A中的緊子集，J是HP上一個(gè)實(shí)值連續(xù)凸函數(shù)，則

max{J(f)∶f∈HP}=max{J(f)∶f∈P}=max{J(f)∶f∈EHP}.

參考文獻(xiàn)：

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