帶相依利率含副索賠風險模型中的幾個破產問題

易亞利

(1.玉林師范學院 數學與計算機科學系，廣西 玉林 537000；2.湖北大學 數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430062)

0 引言

經典的風險理論模型分為離散型和連續型，經典離散型風險模型的總索賠過程服從的是復合二項分布，經典連續型風險模型的總索賠過程服從復合泊松過程，Lundberg和Cramér在該模型下得到了眾所周知的Lundberg不等式和Cramér-Lundberg近似公式.在求取保費和破產概率的數據等具體的經濟應用中我們常常考慮的是離散模型，同時利率往往是一個不可忽略的經濟因素，文獻[1]研究了常利率下的風險模型，并用鞅方法和遞推方法給出了終極破產概率的上界.文獻[2]等討論了利率是獨立同分布的風險模型中的系列破產問題.利率在現實生活中常常不是獨立同分布的，某時段的利率通常與它前面時刻的利率有著一定的關系，有相依利率的風險模型逐漸成為精算界研究的熱點.同時由于突發事件如地震、火災導致的財產索賠(主索賠)往往連帶著醫療等其他索賠(副索賠)，因此有必要研究含副索賠的風險模型.本文中考慮了利率{In,n≥1}滿足一階自回歸結構且帶副索賠的風險模型，得到了其終極破產概率和破產前瞬時贏余分布的上界，為保險公司的實際經營提供了相應的理論依據.

假設在第n時間段有非負的利率In(n≥1),且{In,n≥1}滿足一階自回歸結構

In=αIn-1+Mn， n=1,2,…

(1)

其中0≤α<1,I0=i0≥0為一常數，{Mn,n≥1}為相互獨立同分布的非負隨機變量序列.易知

In=αni0+αn-1M1+…+αMn-1+Mn, n=1,2,….

若保險公司在每個時段初就收到保費Xk，則到第n個時段末的總盈余

(2)

用ψ(u,i)表示初始盈余為u，初始利率為i0的終極破產概率，ψn(u,i0)表示初始盈余為u，初始利率為i0，破產時刻不超過n的概率，則

定義保險公司的破產時刻為T=inf{n:n>0,Un<0}，并約定infΦ=+∞；用T(u,i0)表示初始盈余為u，初始利率為i0的破產時刻.Fn(u,z,i0)表示初始盈余為u，初始利率為i0，破產時刻為n的條件下，破產前一刻盈余不超過z的概率；F(u,z,i0)表示初始盈余為u，初始利率為i0，破產前一刻盈余不超過z的概率，即

1 終極破產概率的遞推公式

首先利用遞推方法得到以上模型中ψn(u,i0)的一個遞推公式，由該公式可以對第n時段的破產概率進行數值計算，同時也是求取終極破產概率上界的理論基礎.

定理1 對于?n≥1及u≥0,有

(3)

(4)

其中ψ0(u,i0)=I(u≤0).

定理1的證明記h=αi0+m，先證明(3)式.

當n=1時，由(2)式有

U1=(u+X1)(1+I1)-W1=(u+X1)(1+αi0+M1)-W1

(5)

由ψ0(u,i0)的定義知(3)式顯然成立.

給定W1=w,X1=x，M1=m，則當0≤w≤(u+x)(1+h)時，有U1>0，故由(2)式有

從而對于一般的n，有

2 終極破產概率和破產前瞬時贏余分布的上界

在有利率的情況下，得到保險公司破產概率的精確解很困難，因此我們轉而研究其終極破產概率的上界問題.

定理2 設B(x)是一個NWU函數[1]，Λ是一個非負函數，若B及Λ滿足

(6)

(7)

定理2的證明首先用數學歸納法證明對?n=1,2,…，有

(8)

由(6)式可得

(9)

當n=1時，由(9)式有

因為B為NWU函數，故

假設當n=k時(8)式成立，則當n=k+1時，由(3)式和(9)式有

此外，當?0≤w≤(u+x)(1+h)時，由函數B(·)的假設，可知

故得到

綜上所述，對一切n≥1，有(8)式成立，再在(8)式兩邊令n→∞，即得(6)式，定理2得證.

(10)

則有

(11)

其中β如定理2中所定義.

推論2 如果W(w)為一NWUC分布函數，則有ψ(u,i0)≤Ee-R(u+X1)(1+αi0+M1).

注1 當α=0時，模型(2)成為利率獨立同分布的模型；當α=0，p=0時，模型(2)成為利率獨立同分布且無副索賠的情形，此時定理2即為文獻[1]中的定理4.1.

注2 在經典風險模型中，初始贏余為u的終極破產概率φ(u)滿足Lundberg上界，即當EX1>EW1時，若存在常數γ滿足Ee-γ(X1-W1)=1,則φ(u)≤e-γu.稱γ為經典風險模型中的Lundberg系數，該系數的大小決定了破產概率的大小.類似地，(10)式中的R為模型(2)的Lundberg系數.下面的定理將兩者的大小作了比較.

定理3的證明考慮函數g(r)=Ee-r(X1-W1)-1,易知g(0)=0,g′(0)<0,g″(r)≥0,故g(r)是一個凸函數.由(10)式有

1=Ee-R(X1(1+αi0+M1)-W1)≤Ee-R(X1-W1),

即g(R)=Ee-R(X1-W1)-1≥0,又因為g(γ)=0,由函數g(r)的性質可得R≥γ.特別地,如果X1和M1均不退化到0,顯然有R>γ.定理3得證.

破產前瞬時贏余的分布是衡量保險公司破產嚴重性的一個重要指標，有助于保險公司事先采取防范措施避免出現財務困境.

定理4 如果存在一個常數R>0滿足Ee-R(X1(1+M1)-W1)=1,

那么

F(u,z,i0)≤βe-R[u(1+αi0)-z]E(e-RuM1)τ(u,i0)+ψ1(u,i0)I(u≤z)，

定理4的證明先證Fn(u,z,i0)≤βe-R[u(1+αi0)-z]E(e-RuM1)

(12)

注3 (12)式中的ψ1(u,i0)可由定理1直接計算得到.

參考文獻：

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