一類新的近于凸函數的子集

熊良鵬

(湖北大學 數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430062)

0 引言

該函數族已經被SilviaE.M[1]定義和研究過.事實上，在定義1中當C=1-2β，D=-1(0≤β<1)時，這個函數族就是Silvia所研究的Cβ[A,B];當B=D=-1，A=C=1時，則為我們熟悉的近于凸函數C.

這里顯然存在關系C*[A,B,C,D]?C[A,B,C,D]?C.

本文將集中研究C*[A,B,C,D]與相鄰函數族C[A,B,C,D]之間的過渡關系以及與C*[A,B,C,D]相關聯函的凸形式和凸半徑估計，并給出了其判斷的充分條件和部分系數估計.

1 主要結果

1.1 相鄰函數族間的關系

又因為

所以

因此h∈C[A,B,C,D]，故完成證明.

定理1.1.2的證明因為g(z)∈S*[A,B]，則在引理1.1.1中取α=1可知：G(z)∈S*[A,B],

(1)

又因為

所以關于G(z)，F(z)∈C[A,B,C,D].證明完成.

1.2 關聯函數的凸形式和凸半徑估計

引理1.2.1[4]如果f(z)∈S*[A,B]，z=r，0

引理1.2.2[4]如果p(z)∈P[A,B]，z=r,0

定理1.2.1 設F(z)=zf′(z)，且f(z)∈C*[A,B,C,D],則當z=r,0

定理1.2.1的證明因為f(z)∈C*[A,B,C,D]，則存在g(z)∈S*[A,B]，使得

又因為F(z)=zf′(z)，所以

故

這里g∈S*[A,B]，h∈P[C,D]，因而由引理1.2.1和引理1.2.2，則當z=r,0

故結論成立.

注 推論1.2.1被很多人以各種方式研究過，這里容易由定理1.2.1中取A=C=1，B=D=-1直接推理得到證明.

(2)

1.3 關于f(z)∈A，則f(z)∈C*[A,B,C,D]的充分條件研究

引理1.3.1[5](Jack’sLemma) 設w(z)在z<1內解析，w(0)=0，若當z

定理1.3.1 若f(z)∈A，g(z)∈S*[A,B]，當f(z),g(z)在E內同時滿足條件：

則相對于g(z)，f(z)∈C*[A,B,C,D]，其中-1≤B

(3)

則有

由條件(a)可知，顯然w(z)在E內解析且w(0)=0，故只需證明w(z)<1(z∈E).

(4)

(5)

假設存在z0使得z

1.4 關于f(z)∈C*[A,B,C,D]的系數估計

為了對C*[A,B,C,D]中的函數的系數進行估計，有必要給出下面的引理.

(6)

將等式(6)兩邊分別展開，對比系數可知 b2=(A-B)γ1

(7)

(8)

由(7)式結合引理1.4.1可知

b2≤A-B,

由(8)式又因為

(9)

(10)

將等式(10)兩邊展開通過對比系數可知：

(11)

(12)

由引理1.4.2可知b2≤A-B，故由(11)式有

令μ=0，則

由(12)式

推論1.4.1的證明在定理1.4.1中取A=C=1，B=D=-1即可.

參考文獻：

[1] Silvia E M.Subclasses of close-to-convex functions [J].Math Sci,1983,6(3):449-458.

[2] Khalida Inayat Noor.Radius problems for a subclass of close-to-convex univalent functions [J].Math Sci,1992,15(4):719-726.

[3] Aghalary R,Kulkarni S R. Some properties of the intergral opterators in univalent function [J].BabesBolyat Math,2001,XLVI(1):351-358.

[4] Janowski.Some extremal problems for certain families of analytic functions [J].Ann Polon Math,1973,2(8):297-326.

[5] Jack S. Functions starlike and convex of orderα[J].Math Soc,1971,2(3):469-474.