加權窗口Fourier變換

張志會，胡勇，梁瑜

(湖北大學 數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430062)

0 簡介

人們在分析信號時，常常需要對信號先作時域局部化處理，例如按要求分段，再作頻域分析，也常常需要對信號先作頻域局部化處理，例如低頻分離處理，頻帶分離處理和高頻分離處理，再用頻域信號的改變來獲得所需的時域信號.因此人們希望時域和頻域都能作出時-頻局部化處理.然而，傳統的Fourier分析對時-頻局部化的要求顯然是無能為力的.這就導致了窗口Fourier變換的產生.窗口Fourier變換通過引入一個時間局部化窗口函數來提取信號Fourier變換的局部信息，從而實現了時 -頻局部化.隨著科學技術的發展，時頻分析的方法越來越多，在眾多的時頻分析方法中，窗口Fourier變換的作用在今天仍然占據很重要的位置.

1 加權窗口Fourier變換

圖1 加權窗口Fourier 變換圖解

隨著時間μ在時間軸上移動，“時間窗”也跟著移動，時域信號f(t)在μ附近被局部化了.現在我們簡要地描述一下時窗函數g(t)的時域局部化表現，如圖1.從圖1可以看出，加權窗口Fourier變換的基本思想就是把信號f(t)劃分成許多小的時間間隔，用加權Fourier變換分析每個時間間隔，以便確定該時間間隔存在的頻率.

2 加權窗口Fourier變換的定理

可以推出L2(R)空間中函數f(t)的加權Fourier變換與傳統的Fourier變換的關系式為

此加權Fourier變換的反演公式為

定理1的證明利用上述加權Fourier變換與傳統Fourier變換的關系式可得

定理2 若f(t)，g(t)∈L2(R)，‖g(t)‖2=1，且為偶函數，則

且有同構公式

定理2的證明可以把加權窗口Fourier變換看作f(t)g(t-μ)的加權Fourier變換，于是下列等式成立

重構公式證完，下面證明同構公式.

兩邊對μ進行積分

其中K(μ0,μ,ξ0,ξ)=.

定理3的證明必要性.

充分性.定義

利用重構公式

參考文獻：

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[3] Chen Qiuhui,LI Luoqing,Qing Tao.Time-frequency aspects of nonlinear Fourier atoms[J].Applied and Numerical Harysis,2004,287-297.