主理想整環上的模的性質

王俊燕

(湖北大學 數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430062)

1 預備知識

為了討論的方便，以下總設R為一個主理想整環，M為一R-模，p為R中的素元，S=R(〗0}，S-1R為R的商域.

定義1 若對任意的m∈M和任意的非零因子a∈R，總有m′∈M，使得m=am′，則稱m為可除元.若M中的任意元均為可除元，則稱M為可除模.

設M為R-模，N為M的子模，若方程rx=z,r∈R,z∈N在M中有解，則在N中也有解，則稱N為M的純子模.顯然,若對任意的r∈R，都有rM∩N=rN，則N為M的純子模.

設B為M的子模，若B為純子模且為循環模的直和，M/B為可除模，則稱B為M的基子模.

設m∈M，若m=phm′,m′∈M且m?ph+1M，則稱h為m的p高.

引理1 若M為一扭模，則M為它的p-分量的直和.

引理2 若D為M的可除子模，則M=D⊕E，其中E為M的子模.

引理2的證明設l：D→M為一包含映射.由可除模的內射性可得存在一模同態β：M→D，使得lβ=1即dβ=d，對?d∈D.若m∈M，則mβ∈D，mβ=mβ2，故m-mβ∈kerβ=E，故M=D+E.若d∈D∩E，則d=dβ=0.故M=D⊕E.

引理3 若M可以用不同的方式表示為擬循環模、循環p-模、無限循環模的直和，則在不同的分解中同構的類型的直和項具有相同的勢.

引理3的證明首先在任何一種分解中無扭的直和項具有相同的勢，而對扭模，由引理1可不妨設M為一p-模，在任何一種分解中直和項為M(pn+1)的勢等于pnM∩M(p)/pn+1M∩M(p)僅與M有關，而對擬循環p-模的直和項生成M的極大可除子群D的p-分量，形成一勢為dim(D(p))的集合，因此結論成立.

2 主要定理

定理1 模M為可除模當且僅當M同構于若干個S-1R與擬循環模的直和.

定理1的證明(充分性)S-1R和擬循環模均為可除模，而可除模的直和仍為可除的，因此M為可除模.

(必要性)設T為M的扭子模，斷言T為可除的.事實上由M為可除模可得對x∈T，任意的r∈R，存在y∈M，使得x=ry.但是M/T為無扭的，故y∈T.因此T為可除的.由引理1可得T為它的p-分量的直和，每個p-分量都是可除的，由引理2可得T為M的直和項，因此只需證明兩種情形M為無扭的與M為一p-模.

φ：M×S-1R→M，

則M為一S-1R-模，而S-1R為一域，從而M為S-1R上的向量空間，故M同構于若干個S-1R的直和.

設M為一p-模，p=M(p)，其中p為一素元.理想(p)為一極大理想，故R/(p)為一域.定義

φ∶P×R/(p)→P,

(x,r+(p))→rx,

則p為一R/(p)-模，從而P為R(p)上的向量空間，設維數為c.令M*為c個擬循環p-模的直和，P*=M*(p)，則P*為R/(p)上的c維向量空間.故存在一單同態α：P*→M使得P*同構于P，由可除模M的內射性質可得存在β：M*→M，使得βP*=α.若kerβ≠0，則α不為一單同態.若Imβ≠M，則可除模Imβ為M的直和項，這就與單同態α使得P*同構于P相矛盾.因此β為一同構映射.

綜上可得M同構于若干個S-1R與擬循環模的直和.

定理2 可除模M的純子模H為M的直和項.

定理2的證明首先可除R-模M為一S-1R模，H為M的純子模，故H也為S-1R模.令集合J={Aα：Aα為S-1R-模的子模且Aα∩H=0}，由佐恩引理可得J中存在極大元A，即A為S-1R-模且A∩H=0.以下證明M=H+A.

定理3 M為p-模，M為可除的當且僅當M沒有非平凡的純循環子模.

定理3的證明(必要性)M為p-可除模，由定理1可得M?CrGn，Gn為p-擬循環模，設H為M的純子模，由定理2可得H為M的直和項，但H不可能為循環子模.故M沒有非平凡的純循環子模.

(充分性)若M(p)中的任意一元均有無限p高，假設M不為可除模，則存在不被p整除的元m，不妨取最小的正整數t使得ptm=0而ptm=ppt-1m=0則pt-1m∈M(p)有無限p高，故pt-1m=ptm1，m1∈M，pt-1(m-pm1)=0，令m2=m-pm1,則pt-1m2=0.重復上述過程可得m2=pm3因此m=m2+pm1=p(m3+m1),這就與m不被p整除矛盾.因此M為可除模.故若M不為可除模，M(p)中必存在一元素具有有限p高.

在進行位置分析時，用a、b、c、d來表示4個構件的長度，根據矢量方向和方位的選擇(由箭頭指明)如圖3所示，得到了下面的矢量環方程：

綜上可得M不為可除模，則M有非平凡的純循環子模.

定理4 M滿足極小條件當且僅當M為有限多個擬循環模與有限循環p-模的直和.

定理4的證明(必要性)M滿足極小條件，若M為一無扭模，即對任意的m∈M，不存在r∈R，使得rm=0，則Rm>R2m>R4m>…為一無限鏈，無極小元，與M滿足極小條件相矛盾.因此M為一扭模，由引理1可得M為它的p-分量的直和，可設M為一p-模.

若M中有可除元，由引理2可得M=E⊕H，其中E為可除模，H中無可除元.由定理1可設M為一既約模，無可除元，只需證明M為有限循環模.假設M為無限模，由M滿足極小條件可得存在M的極小無限子模H，若H=pH，則H為可除模，而M為既約模，故H=0.因此H>pH，由H的極小性可得pH為有限的，由模的同構定理可得H/H(p)?pH.故H/H(p)為有限模，H(p)為一無限模，H的極小性使得H(p)為有限模，矛盾.因此M為有限模，也必為有限生成的，可以分解為有限多個循環p模的直和.

(充分性)擬循環模的每個真子模均為有限的，因此擬循環模滿足極小條件.不妨設M=D⊕E，D為有限個擬循環模的直和，E為有限循環p-模的直和，則M/D?E，滿足極小條件.因此M滿足極小條件.

定理5 M為一扭模，則M有基子模且M的所有基子模均同構.

定理5的證明若Dp為M的p-分量的基子模，則D=DrpDp為M的基子模，因此不妨設M為一p-模.若M為可除模，則0為M的基子模，可設M不為可除模.

若非空集合X中的元線性無關且由X生成的模為純子模，則稱X為純無關集.由定理3可得純無關集存在.按包含關系可得一純無關子集鏈，這條鏈上的元的并為純無關的.由佐恩引理可得存在一極大純無關子集X，令B為由X生成的純子模.

若M/B不為可除模，則由定理3可得M/B有非平凡的純循環子模R(m+B).若pdm∈B,則pdm∈pdM∩B=pdB.因此pdm=pdb,b∈B，故pd(m-b)=0.由(m-b)+B=m+B，可設m′=m-b,則pdm′=0.同時pd(m′+B)=0M/B.令Y=X∪{m′}，若Y為線性相關的，則存在r∈R，使得0≠rm′∈B，即r(m′+B)=0M/B,由上面的討論可得rm′=0，矛盾.因此Y線性無關.B為M的純子模，R(m′+B)/B為M/B的純循環子模，令K=R(m′+B),設k∈aM∩K，a∈R，則k=am，m∈M，而k+B=am+B=a(m+B)，由K/B為M/B的純子模可得k+B=a(k′+B)，k′∈K,則h=k-ak′=am-ak′=a(m-k′).由B為M的純子模可得h=ah′,h∈B.因此k=ah′+ak′=a(h′+k′)∈aK，故K為M的純子模.因此由Y生成的子模為M的純子模且Y線性無關，因此Y為純無關子集，這就與X的極大性相矛盾.因此M/B為一可除模.故B為M的基子模.

由M/B為一可除模可得對任意的n≥0，M=pnM+B，同時由B為M的純子模可得pnM∩B=pnB且M/pnM?B/pnB.若k≤n，則B的直和項中M(pk)的循環模的個數=B/pnB中對應的個數=M/pnM直和分解的循環模的個數.由引理3可得任意兩個基子模同構.

3 基子模的一個實例

事實上，對任意w∈B，

若w=pg，g∈M，則w=pg=p∑bixi=∑(ai-ai-1pni-ni-1)xi,

因此

∑(pbi-ai+ai-1pni-ni-1)xi=0,

故

pnipbi-ai+ai-1pni-ni-1.

對任意的i，

xi+B=pni+1-nixi+1+B=p(pni+1-ni-1-1xi+1+B)=P(yi+B).

任意的g+B∈M/B，

而∑ciyi+B∈M/B.繼續此過程可得對任意的t，存在h∈M，g+B=pt(h+B),即M/B為一可除模.

因此B為M的基子模.

參考文獻：

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