有限李環的若干性質

孔榮

(湖北大學 數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430062)

1 引言及預備知識

由文獻[1]可知：李環L是沒有單位元的非結合環，它的乘積表示為[a,b]，且對于所有的a,b,c∈L滿足：(1)[a,b]=0,(2)[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0.若李環L滿足下列條件之一：(1)γc+1(L)=0,(2)L有一個長為c的中心列：L=L1≥L2≥…≥Lc≥Lc+1=0,即使得[Li,L]≤Li+1,其中i=1，2，…，c,(3)[x1,x2,…,xc+1]=0，則稱L為冪零李環.本文中我們將冪零群的某些性質引入到李環中去，以李環及冪零李環的定義為基礎，給出了Fitting子環、Frattini子環、李環L的非生成元、主列、以及李環滿足理想化條件的定義.并對有限李環的冪零性的判定條件，李環中的Fitting定理以及Frattini子環的一些性質進行研究.

下面給出本文所需要的一些定義.

定義1 由李環L的所有冪零理想生成的子環稱為L的Fitting子環，記為FitL.

定義2 設L為有限李環，若L≠0，令FratL為L的所有極大子環的交；若L=0，令FratL=0，則稱FratL為L的Frattini子環.

定義3 如果由L=〈S，x〉可以推出L=〈S〉，其中S是L的一個子集，則稱x為李環L的非生成元.

定義4 若李環列L=L0>L1>L2>…>Ls-1>Ls=0，滿足：每個子環Li都是李環L的理想，且在Li-1和Li之間不能再插入L的另一個理想.即對i=1,…,s,Li-1/Li是L/Li的極小理想，則稱此列為一個主列.

定義5 如果一個李環滿足：它的每個真子環都小于它的理想化子，則稱該李環滿足理想化條件.

本文采用的記號和術語都是標準的，可參考文獻[1].

2 定理的證明

2.1 冪零李環

定理1的證明設L是冪零李環，c是冪零類，則0=ζ0(L)≤ζ1(L)≤…≤ζc(L)=L,其中ζ(L)=ζ1(L).取i為最小正整數，使得N∩ζi(L)≠0成立.因為[N∩ζi(L)，L]≤[ζi(L),L]≤ζi-1(L),[N∩ζi(L),L]≤[N,L]≤N,從而，[N∩ζi(L),L]≤ζi-1(L)∩N=0,N∩ζi(L)≤N∩ζ1(L),所以0≠N∩ζi(L)=N∩ζ1(L).即N∩ζ(L)≠0.

定理2 冪零李環L的極小理想包含在它的中心內.

定理3 設I為冪零李環L的極大交換理想，則I=CL(I).

定理4 設L是有限李環，則下列條件等價：(1)L是冪零的;(2)L的每個子環都是次理想;(3)L滿足理想化條件;(4)L是Engel李環.

[L，H]≤Hn-1,[L，2H]=[L，H，H]≤[Hn-1，H]≤[Hn-1，Hn-2]≤Hn-2,…,[L，nH]≤H0=H=〈x〉,[L，n+1H]≤[H,H]=0,任意y∈L,[y,n+1x]=0,故L是Engel李環.

(4)→(1).證明過程見文獻[2].

2.2 Fitting子環

定理5 設M和N為李環L的冪零理想.若c和d分別為M和N的冪零類，則K=M+N是類至多為c+d的冪零李環.

定理6 設L是有限李環，則FitL是L的主因子的中心化子的交.

2.3 Frattini子環

定理7 李環L的Frattini子環等于L的所有非生成元組成的集合.

定理7的證明設x∈FratL,并且L=〈S,x〉.假設〈S〉≤M,與L=矛盾,故x是L的非生成元.反之，設x是L的非生成元，M是L的任意一個極大子環.假設x?M,則L=〈M,x〉，但〈M〉=M≠L,與x是L的非生成元矛盾，所以必有x∈M.由M的任意性可知：x∈FratL.

定理8 設L為一個有限李環，則有：

(4)若A是L的交換理想，使得(FratL)∩A=0,則存在一個子環H，使得L=H+A，H∩A=0.

定理8的證明(1)因為N≤FratH,故N≤H.任取L的一個極大子環M，下證：(M+N)∩H=(M∩H)+N.顯然(M∩H)+N?M+N,(M∩H)+N?H+N=H,因此(M∩H)+N?(M+N)∩H.反之，取(M+N)∩H中的任意一個元x,x=(m+n)∈(M+N)∩H,其中m∈M,n∈N.因為x∈H,m=x-n∈H+N=H,又m∈M,所以m∈M∩H.從而x=m+n∈(M∩H)+N.由x的任意性可知：(M+N)∩H?(M∩H)+N,故(M+N)∩H=(M∩H)+N成立.假設N≤/FratL,故存在L的某個極大子環M′,使得N≤/M′,L=M′+N,從而H=H∩L=H∩(M′+N)=(H∩M′)+N.注意到N≤FratH,由定理7可知：N是H的非生成元，所以H=H∩M′,H≤M′.從而：N≤M′,矛盾，故N≤FratL.

(2)利用(1)令N=FratK,H=K即可.

(3)設M≥N,且M是L的極大子環，Frat(L/N)=∩{M/N|M是L的極大子環}=((∩M)+N)/N≥((FratL)+N)/N.當N≤FratL時，等號顯然成立.

參考文獻：

[1] Evgenii Khukhro.Nilpotent groups and their automorphism[M].New York:de Gruyter,1993.

[2] Zel’Manov.On the restricted Burnside problem[J].Siberian Math J,1990,30:885-991.