一道不等式題引發的思考

● (興化市第一中學 江蘇興化 225700)

大數學家希爾伯特曾深情地稱費馬大定理是一只“會下金蛋的母雞”，其意是說人們在研究費馬大定理的過程中，提出并解決了一個個有價值的新問題，為我們打開了一片片新的知識天地．只要我們時時留意，做個有心人，就會發現初等數學中不乏這樣的好問題．第32屆美國數學奧林匹克試題中就有這樣一只“會下金蛋的母雞”，此題為：

分析注意到不等式的左邊是零次齊次式，不妨設a+b+c=1，這樣不僅可以簡化式子，而且增加了條件，有助于解決問題．

故

命題1得證．

至此，我們似乎可以鳴金收兵，凱旋班師．如果這樣，那么將失去一次發現數學寶藏的絕佳機會，如“入寶山而空返”．仔細分析以上解題過程，可以發現利用

聯想與類比在很多場合下是獲得新命題的金鑰匙．類比命題1的結構，不難猜想如下2個相似命題：

命題2設a,b,c是正實數，a+b+c=1，求證：

命題3設a,b,c是正實數，求證：

以上2個命題不等式的左邊都不是零次齊次式，命題1的解題方法仍可借鑒．下面只證命題3．

因此

命題3得證．

命題4在銳角△ABC中，求證：

命題5在△ABC中，求證：

命題6設a,b,c是正實數，求證：

不難獲得命題8.

命題8設a,b,c是正實數，a+b+c=1，求證：

類似地還有：

自2006年購機補貼政策實施以來，麗江市耕作機械和稻麥收獲機械快速增長，機耕作業和機收作業日漸被農民所認可。受地理、氣候條件和傳統農藝要求所限，水稻機插秧技術的示范推廣起步較晚，發展也很緩慢，嚴重制約了水稻種植的持續穩定發展。

(2003年西部數學奧林匹克競賽試題)

這樣我們就找到了命題1和命題10這2個外形迥異的不等式題之間奇妙的聯系．也許這就是數學讓無數人為之癡迷、為之競折腰的緣故吧！

猜想是數學發展的動力，類比是引領我們思維深入的偉大引路人．回到命題1，如果將不等式左邊的數字2改為其他正數，譬如3，那么會有類似結果嗎？

我們無法肯定命題11是否成立，不過可以肯定的是以上的證法已無法奏效．看來，我們需要提高解題智慧或增加解題力量．筆者幾番冥思，沿著各種思路崎嶇而上，終獲成功．下面給出命題11的推廣及證明．

命題12設λ,a,b,c是正實數，求證：

(1)

事實上，不等式(1)等價于

(3x-1)2[2(λ3+3λ2+2λ)x+(λ3+λ2)]≥0,

因此

利用平均不等式或柯西不等式易得如下引理：

借助此引理，還可以獲得很多與上述命題相關的不等式．譬如由命題1可得：

命題13設a,b,c是正實數，求證：

命題14設a,b,c是正實數，求證：

波利亞說過：“當我們成功地解決了一個好問題之后，我們應當尋找更多的好問題．好問題同某些蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能在附近就有好幾個”.教師要善于拋出一個蘑菇，引導學生尋找一群蘑菇，這樣才能最終提高學生的數學思維水平和創新思維能力，達到“鷹擊長空，魚翔淺底”的境界，實現由必然王國向自由王國的跨越．