用分離參數法求取值范圍

● (任丘市第一中學 河北任丘 062550)

求參數的取值范圍問題是中學數學的重點，也是一個難點.學生在解答此類問題時往往會因分類不恰當或討論不全面而出現錯誤.為迅速、準確地處理一類求參數取值范圍問題，給出一種方法——分離參數法.

下面舉例說明如何用分離參數法求取值范圍.

1 分離參數，利用三角函數的有界性求取值范圍

解已知方程整理得

因此原方程有2個實根等價于

即

于是

-1

故實數m的取值范圍為(-1,2].

2 分離參數，用代數式的性質求取值范圍

例2不等式ax2+a|x|+a-1<0對任意實數x都成立，求實數a的取值范圍.

解由ax2+a|x|+a-1<0,得

因為

得

所以

故a≤0，即實數a的取值范圍為(-∞,0].

3 分離參數，用均值不等式求取值范圍

例3已知函數f(x)=lg(ax+a-x-m)(a>0,且a≠1)的定義域為實數集R，求實數m的取值范圍.

4 分離參數，用常見函數的單調性求范圍

解先分離參數k，得

由x∈(0,3]，得

同理，分離m得

因此

f(3)≤f(x)

即

于是

5 分離參數，用換元法求取值范圍

例5若方程x2-2ax-a+2=0有正根，求實數a的取值范圍.

分析方程有正根包含3種情形：兩根均為正，一正一零，一正一負.若直接按根的分布討論,則比較復雜.可先分離參數，再結合換元法求解,則簡潔得多.

分離參數a，得

設t=2x+1(t>1)，則

因此

解先分離a.由題意得

因此

因此

a<3.

6 分離參數，用導數工具求取值范圍

例7若lnx-(k+1)x<0在(0,+∞)上恒成立，求實數k的取值范圍.

解分離k得

(k+1)x>lnx，

即

解方程f′(x)=0,得x=1.又當x∈(0,1)時，f′(x)>0；當x∈(1,+∞)時，f′(x)<0.于是

f(x)max=f(1)=0，

解得

k+1>0,

即k>-1,故實數k的取值范圍為(-1,+∞).

由以上幾例可以看出，在一個方程、函數或不等式中，若涉及到求參數取值范圍的問題，則可先考慮能否將它作適當變形，將所求參數分離出來，通過考察函數單調性、有界性，不等式性質，或結合換元法、導數等轉化成求含該參數一端值域或最值的問題，這就是分離參數法.這種方法集化歸與轉化思想、整體與換元思想于一身，可盡量避免對參數的討論，在求參數范圍這個熱點問題中有著獨特的解題優勢.