構造多種模型證明Shapiro不等式

● (鄞州區古林職業高級中學 浙江寧波 315177)

這個不等式稱為Shapiro不等式,很多文獻對此都有所介紹.本文從不同角度思考可以得到不同的證法.

1 構造函數模型

引理1函數f(x)定義在區間上,若f′(x)是增函數,則對于xi∈I(i=1,2,…,n),都有

即

評析此方法靈活地利用了一元連續函數的性質所給出的定理,思路通暢、步驟簡便,使有些難度較大的不等式問題變得簡單,也加深了對函數思想和函數方法的理解,為發現不等式、解決不等式問題開辟了一條途徑.

2 構造概率模型

引理2(Cauchy-Schwarz不等式)在概率空間(Ω,F,P)中,設E(X)表示隨機變量的X的數學期望,對任意的隨機變量ζ和η,當Eζ2和Eη2存在時,E(ζη)必存在,且|E(ζη)|2≤Eζ2·Eη2,當且僅當P(η=t0ζ)=1時,等號成立(t0是某一常數).

證法2注意到

則所證不等式等價于

即

則邊際概率分布分別為

又由

|E(ζη)|2≤Eζ2·Eη2,

得

即

評析用概率方法證明不等式,并非通用的解法,關鍵是根據不等式特點構造適當的概率模型.此不等式的概率統計意義是2個隨機變量乘積的數學期望的平方小于等于2個隨機變量二階矩的乘積.

3 構造數列模型

證法3

4 構造向量模型

證法4構造向量

則

|n|=a1(1-a1)+a2(1-a2)+…+an(1-an)=

因此

(m·n)2=(a1+a2+…+an)2=s2，

從而

評析構造向量的重點和難點是根據其結構特點,構造2個恰當的向量.

5 構造幾何模型

5.1 構造n維空間的距離公式

在n維空間中，點P(x1,x2,…,xn)到平面∏：A1X1+A2X2+…+AnXn+K=0(Ai∈R,K∈R,i=1,2,…,n)的距離為

點P到平面∏上任意點Q(y1,y2,…,yn)的距離為

d2=d(P,Q)=

利用d1≤d2的基本關系即可證明.

則點O(0,0,0)∈∏.由

得

變形得

即

5.2 構造質點系重心法

利用質點系重心法證明不等式的步驟如下:

(1)選取合適的曲線y=f(x),并畫出曲線在規定范圍內的圖形.

(3)計算質點系Ai(xi,yi)的重心坐標

(mi是第i個質點的質量,i=1,2,…,n).

圖1

|MG|≥|MN|,

則

即

評析從數形結合思想考慮,充分挖掘出不等式的幾何背景,分別利用空間距離公式和質點系重心法建立不等式的2種幾何模型,利用幾何圖形的不等性質,使原不等式較易得到證明.

以上從6個不同的角度來思考Shapiro不等式的證法,函數思想一直是高中數學的重要內容和思想方法.概率和向量是新課程中增加的內容,這在一定程度上拓寬了解題思路,對培養學生的創造性思維大有裨益.

[1] 匡繼昌.常用不等式[M].3版.濟南:山東科學技術出版社,2004:182.

[2] 葉留青,賈長虹.一元連續函數的一個性質定理及其應用[J].焦作師范高等專科學校學報,2009,25(2):71-75.

[3] 王盛剛,張海河.用質點系重心法證明不等式的嘗試[J].高等函授學報,2000,13(1):58-64.