“動態”立體幾何題解法剖析

● (江蘇教育學院附屬高級中學 江蘇南京 210036)

立體幾何是中學數學傳統的主體內容之一，也是當前高考命題的一個熱點內容.它不僅能考查學生的空間想象力，還能更好地體現學生思維的深刻性和靈活度.隨著新課改地不斷深入，立體幾何以柱體和錐體為載體來考查立體幾何中的重要內容，譬如線線、線面與面面的位置關系.“動態”探索性問題是近幾年高考立體幾何命題的新亮點，以此來考查立體幾何問題中的證明和計算.有時學生對此類問題感到措手不及，因此，教師在教學中非常有必要對知識進行活化，引導學生通過觀察、比較、聯想等思維過程，把新的立體幾何問題納入到原有的認知結構中，用熟悉的平面幾何知識、代數方法等進行解答.筆者對求解立體幾何問題總結為“八字方針”，即“截、移、割、補、展、折、射、轉”，僅供大家參考.

1 “截”

“截”是指在空間圖形中作截面，求截面的面積、截面與指定平面所成的角、截面將多面體分割成幾部分的體積等問題，從而把問題轉化為較容易的(或特殊的)問題加以求解.

圖1

圖2

解當交線MN在側面A1B內(或與A1B1重合)時，

當MN在底面A1B1C1內時，

因此

點評截面問題是立體幾何中的常見題型，由于截面的動態性，使截得結果也具有一定可變性.

2 “移”

“移”是指先將某圖形平移到適當位置，使不在同一平面上的元素集中到一個平面上，再利用平面幾何知識進行研究，實現立體問題向平面問題的轉化.

點評通過圖形位置的適當平移，可以實現空間圖形向平面圖形的迅速轉化，讓學生真實地感受到立體幾何動感的一面.

3 “割”

“割”是指當所呈現的幾何體較復雜、有關的計算公式無法直接運用或計算較繁時，可以適當地分割幾何體，化整為零，從而迅速破解.

例3將半徑為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器中，這個正四面體高的最小值是

( )

(2005年全國數學高考理科試題Ⅱ)

點評近幾年，高考立體幾何題出現一些求不規則幾何體的體積問題或利用體積轉化來求其他的幾何量.處理這一問題的常用方法是“割補法”，再用體積公式計算即可，它是化歸思想在立體幾何中的應用.

4 “補”

“補”是指根據解題的需要將幾何題補出適當的部分，變到比較熟悉的或者比較簡單的幾何體中，再進行求解.“補形”不但能帶來計算上的簡便，有時甚至是問題得以解決的唯一途徑.

例4如圖3,已知三棱錐P-ABC的3條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，且長度分別為3，4，5，試求該三棱錐外接球的表面積.

分析將3條側棱兩兩垂直的三棱錐P-ABC補成一個長方體，兩兩垂直的3條側棱就是長方體的長、寬、高，則該長方體的對角線長就是三棱錐P-ABC的外接球的直徑.設其直徑為2R，則

故

點評在解題中常遇到3條側棱相互垂直的三棱錐，通常將它補成長方體，易于求解.特別地，若三棱錐的3個側棱相互垂直且相等，則可將它補成正方體.

圖3

圖4

5 “展”

“展”是指展開空間圖形，它是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題的常用方法，應用此法可以化折為直、化曲為直.一般用于求選擇路徑問題、幾何中的最值問題等.

例5有一根長3π cm，底面半徑為1 cm的圓柱形鐵管，用一根鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的2個端點落在同一母線的2個端點處，則鐵絲的最短長度是

( )

A.2π B.3π C.4π D.5π

點評展開圖著重解決的是側面及最短距離等問題.在折疊與展開的問題中，應重視前后圖形的對比，注意空間圖形的棱、側棱、母線等分別是平面圖形中的哪些量，從而進行相關幾何量的計算.

6 “折”

“折”是指將平面圖形折疊成立體圖形.要認清平面圖形中各已知條件的相互關系及其本質，平面圖形折疊成立體圖形后，要注意哪些量發生了變化，哪些量未發生變化，這些未變化的已知條件都是分析問題和解決問題的依據.

例6如圖5，在邊長為2的正方形SG1G2G3中，E,F分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現在沿SE,SF及EF把這個正方體折疊成一個四面體，且點G1,G2,G3重合，重合后的點記為G，求四面體G-SEF的體積．

分析若先求出點G到平面SEF的距離，然后利用三棱錐的體積公式求解，則比較麻煩.若注意到三棱錐G-SEF的體積與三棱錐S-GEF的體積相等，即VG-SEF=VS-GEF,則較容易得到解決.

圖5

圖6

由題意知

SG⊥GE,SG⊥GF，且GE∩GF=G，

因此SG⊥面GEF．又由正方形的棱長為2，易知

于是四面體G-SEF的體積為

點評把平面圖形翻折成立體圖形的有關計算問題，易將翻折前的點、線、面之間的位置關系和數量關系誤用到翻折后.在解題時,必須抓住在翻折過程中點、線、面之間的位置關系和數量關系，分清變量和不變量，特別要抓住不變量，有時它就是解題的關鍵.

7 “射”

“射”是指利用射影(投影)的方法將空間圖形的若干元素集中到同一平面內，再利用平面圖形的相關性質求解.

例7正四面體的棱長為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點在平面α內的射影構成的圖形面積的取值范圍是________.

分析正四面體繞AB旋轉，當CD∥平面α時,CD在平面內的射影最長，記為GH，面積也最大，則

點評“動態”立體幾何問題是高考立體幾何考查的最具有創新意識的題型，而“射影”是其很好的一個素材.通過“射影”把立體幾何問題轉化為平面幾何問題求解.

8 “轉”

“轉”是指將某些空間圖形轉化為平面圖形或把某些圖形適當地轉換一些角度進行求解.

( )

A.直線 B.橢圓

C.雙曲線 D.拋物線

圖7

所以

故在平面ACC1A1內，動點M到定點A的距離與到定直線CC1的距離的比是一個大于1的常數，點M的軌跡是雙曲線.

點評動點軌跡問題是高考立體幾何“動態”問題最為新穎的一種命題形式，它體現在立體幾何與解析幾何的知識交匯處命題.對于此類問題通常可聯想到解析幾何中有關軌跡定義(譬如圓、圓錐曲線、角平分線、球等)，把條件作適當地轉換，將立體幾何問題轉化為平面解析幾何中的軌跡問題求解.

立體幾何是培養學生空間想象能力的數學分支，培養學生的識圖、想圖、畫圖的能力；培養學生文字語言、符號語言、圖形語言的轉化能力等.近幾年新穎的立體幾何問題已成為高考試題新亮點.解決此類問題的關鍵是準確地把握立體幾何中的截、移、割、補、展、折、射、轉這8種變換策略，從變化的角度分析問題，便可得到解決問題的有效方法.