探究高考試題 重視引申教學(xué)

● (蘇苑高級中學(xué) 江蘇蘇州 215128)

波利亞認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會年輕人思考”.在當(dāng)前的教育模式下，每一位教師都應(yīng)該認(rèn)真研究高考試題，不僅研究試題如何解決，還應(yīng)研究試題的背景、與課本知識的聯(lián)系.因?yàn)橛泻芏囝}目本身是出自課本題目或進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母木?在這些內(nèi)容已經(jīng)基本研究清楚的情況下，還應(yīng)該研究解決題目的方法和思想，對該題的知識和方法的延伸，以及改變題目某些條件而出現(xiàn)的新題，更為重要的是教會學(xué)生如何思考.

針對近幾年江蘇省數(shù)學(xué)高考部分試題，筆者做了一些引申，在《數(shù)學(xué)通訊》2006年第11期上發(fā)表了對2006年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第21題的引申的文章，并在平時課堂教學(xué)中加以實(shí)踐，這對課堂教學(xué)有一定的幫助.波利亞說：“當(dāng)你找到第一個蘑菇后，要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L的”.在解題教學(xué)中，解題后的反思不單是簡單的回顧或檢驗(yàn)，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，尋找各科知識的交叉點(diǎn)，總結(jié)、理清、概括思路，做到舉一反三、觸類旁通，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和知識遷移能力，并引導(dǎo)學(xué)生對命題進(jìn)行條件弱化和結(jié)論加強(qiáng)、推廣、引申等的反思.

1 從合情推理的角度對試題的知識覆蓋進(jìn)行引申

合情推理是波利亞的“啟發(fā)法”中的一個推理模式,歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理.歸納推理就是從具體到一般的推理，對試題的歸納推理就是將條件弱化、一般性處理后的一種推理，譬如歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式等.類比推理就是將問題類比到具有某些共同屬性的知識上去而得到的一些推理結(jié)果，譬如將等差數(shù)列問題類比到等比數(shù)列問題，平面幾何問題類比到立體幾何問題等.此類問題的引申能提高課堂教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)知識的深度和廣度.

例1設(shè)數(shù)列{an},{bn},{cn}滿足：bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3n+2(n=1,2,3,…),證明:{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列,且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).

(2006年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

引申1設(shè)數(shù)列{an},{bn},{cn}滿足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2+…+(k+1)an+k(n=1,2,3,…;k∈N*),證明:{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列,且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).

2 從數(shù)學(xué)思想方法的角度對試題的解法進(jìn)行引申

中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法有許多，主要有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想和等價轉(zhuǎn)化思想.在教學(xué)中,若能讓學(xué)生真正領(lǐng)會這些思想,這將對高考解題有很大的幫助.

譬如,許多數(shù)學(xué)問題有“代數(shù)和幾何”的雙重背景，在解決時可以從這2個角度去思考，可以鍛煉學(xué)生的抽象思維與形象思維.

圖1

江蘇2009高考數(shù)學(xué)試題第18題：

例2如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4.

(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

除了試題給出的答案外，還可以用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.

由上可見，此題用數(shù)形結(jié)合思想有效地化解了復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，在教學(xué)過程中不妨經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生將代數(shù)方法與幾何方法轉(zhuǎn)換使用.

3 從弱化命題條件的角度對試題的結(jié)論進(jìn)行引申

一個命題有條件和結(jié)論這2個部分，如果將條件弱化，從具體數(shù)據(jù)引申為一般情形，那么就改變了命題的題設(shè)，從而對結(jié)論產(chǎn)生影響.有時結(jié)論仍然成立，有時結(jié)論不成立，這就需要我們?nèi)ヅ袛嗪妥C明.如此訓(xùn)練，一方面可以讓學(xué)生認(rèn)清某類知識和方法的本質(zhì);另一方面還能提高學(xué)生的自主探索能力.

對2009年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第18題還可進(jìn)行如下引申：

引申4若平面內(nèi)有2個不重合的圓C1,C2，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等.如果存在，求出點(diǎn)P；如果不存在，請說明理由.

分析選擇用代數(shù)方法運(yùn)算.

建立平面直角坐標(biāo)系，使得圓C1,C2的圓心分別為(-a，0)和(a，0).設(shè)圓C1,C2的半徑分別為r1,r2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),直線l1和l2的方程分別為

即

由題意可得

化簡得

4nmk+[n2-(m-a)2],

此關(guān)于k的方程有無窮多解.由

解得

顯然第2組解不符題意，舍去.第1組解表示：要有滿足題意的解，兩圓半徑必須相同，點(diǎn)P必須在兩圓心連線段的垂直平分線上，且點(diǎn)P到此垂直平分線的距離等于兩圓心連線段距離的一半.在這種情形下，點(diǎn)P有且只有2個，這2個點(diǎn)與兩圓心正好圍成一個正方形.如果不滿足上述情形，那么這樣的點(diǎn)P不存在.

引申5若平面內(nèi)有2個不重合的圓C1,C2，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的無窮多對夾角恒定的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等.如果存在，求出點(diǎn)P；如果不存在，請說明理由.

分析選擇用幾何方法說理.

當(dāng)2個圓半徑相同時，當(dāng)直線l1經(jīng)過圓心C1，直線l2經(jīng)過圓心C2時，它們被圓截得的弦長相等，都為圓的直徑，點(diǎn)P應(yīng)在線段C1C2的垂直平分線l上.因?yàn)閘1,l2夾角恒定，所以點(diǎn)P也在以線段C1C2為一條弦且其所對的圓周角恒定的2段圓弧C上，即點(diǎn)P是直線l與C的交點(diǎn)，這樣的點(diǎn)P有且只有2個(點(diǎn)A，B).當(dāng)l1,l2繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至l1′,l2′時，各自旋轉(zhuǎn)的角度相同，C1到l1′的距離與C2到l2′距離相等.由垂徑定理可知，直線l1′被圓C1截得的弦長與直線l2′被圓C2截得的弦長相等.因此滿足條件的點(diǎn)P就是A，B，此時四邊形AC1BC2為菱形，利用解析幾何知識，寫出線段C1C2的垂直平分線l的方程和以線段C1C2為一條弦且其所對的圓周角恒定的2段圓弧C的方程通過解方程組，不難求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo).

當(dāng)2個圓半徑不相同時，可以證明這樣的點(diǎn)P不存在.

上述試題的引申揭示了知識的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)特征(內(nèi)涵與外延)：此類問題可以運(yùn)用代數(shù)的運(yùn)算來解決幾何問題，也可以從圓的幾何性質(zhì)來直接研究幾何問題.

4 從與課本聯(lián)系的角度對試題的源頭進(jìn)行引申

在注重基礎(chǔ)知識和方法的基礎(chǔ)上，如果能夠?qū)φn本內(nèi)容進(jìn)行進(jìn)一步研究和引申，有助于學(xué)生理解問題的本質(zhì)，提高學(xué)生研究問題的能力.例如2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第13題：

這2個問題的本質(zhì)是相同的，如果引申為一般情形，那么即可得到：

若到2個定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)(不為1)的點(diǎn)的軌跡是一個圓，則稱之為阿波羅尼斯圓.

抓住這個本質(zhì)后，例3就不難解決了.

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京：人民教育出版社，2005.

[2] 高德龍.2006年一道高考題的引申[J].數(shù)學(xué)通訊,2006(11)：11-12