區間數互補判斷矩陣的一種新排序算法

史文雷, 徐 蕾

(衡水學院經濟與管理學院,河北衡水 053000)

區間數互補判斷矩陣的一種新排序算法

史文雷, 徐 蕾

(衡水學院經濟與管理學院,河北衡水 053000)

針對區間數互補判斷矩陣元素表示的特點,定義了區間數互補判斷矩陣的等價矩陣族,得到了區間數互補矩陣一致性檢驗方法.通過構造一種新的求解區間數互補判斷矩陣的權重區間的決策模型,得到一種排序算法.最后給出一個算例,描述此方法的應用.

區間數互補判斷矩陣;一致性;排序;模糊互補判斷矩陣

1 引 言

由于客觀事物的復雜性、不確定性以及人們思維的模糊性和決策信息的不完全性等,決策信息有時是以區間數的形式表達的.利用元素兩兩比較的方法,人們在實踐中往往會構造出兩類區間數判斷矩陣,一類是互反型區間數判斷矩陣(考慮元素的重要性程度之比),一類是互補型區間數判斷矩陣(考慮元素的重要性程度之差).目前對區間判斷矩陣的研究大都集中在互反型的[1-4],而對互補型的研究則相對較少[5-7].這不能滿足區間數層次分析法的理論與應用需求.為此,本文提出互補型區間數層次分析的一種排序方法.首先通過構造包含區間數互補矩陣全部信息的等價矩陣族,給出了檢驗區間數互補矩陣一致性的目標規劃方法;然后以區間數互補矩陣的等價矩陣族構造模糊一致性互補判斷矩陣為約束,通過優化方法,得到了區間數互補矩陣的權重區間.

2 區間數互補判斷矩陣的一致性

為方便,記N={1,2,…,n}.

定義1[8]設矩陣A=(aij)n×n.若有0≤aij≤1,并且aij+aji=1,則稱矩陣A是模糊互補判斷矩陣.滿足以上兩者,并且對?i,j,k∈N,有aij=aik-ajk+0.5,則稱A是一致性模糊互補矩陣.

定義2[9]稱A=(Aij)n×n為區間數互補判斷矩陣,如果它滿足

(i)Aii=[0.5,0.5](?i∈N);

(ii)Aij=A,i≠j;

(iii)Aij=[a,a],0≤a≤a≤1.

引理1 3階模糊互補判斷矩陣A=(aij)n×n為一致性矩陣的充要條件是:a12=a13-a23+0.5.

證用數學歸納法易證,故略.

事實上,上述等式可用矩陣表示為

由于區間數互補矩陣中的元素表示方案的重要性程度之差,因此其中的元素可以唯一的表示成以上形式.對于區間數互反判斷矩陣,由于它的元素表示方案的重要性程度之比,因此它被唯一的表示成Aij={x|x=(a)λ(a)1-λ,λ∈[0,1]}[10].

定義3 稱矩陣DA={D=(dij)|λij∈[0,1],i,j=1,2,…,n}為區間數互補判斷矩陣A=(Aij)n×n, Aij=[a,a]的等價矩陣族.其中dij=λija+(1-λij)a,1＜i≤j≤n,λij∈[0,1],dji=1-dij.

從引理2可知,用此方法表示區間數互補判斷矩陣的等價矩陣族是合理的,并且保留了原判斷矩陣的所有信息.

定義4 如果區間數互補判斷矩陣A=(Aij)n×n,Aij=[,]的等價矩陣族DA中至少包含一個一致性模糊互補判斷矩陣,則稱矩陣A是一致的.

若矩陣D是模糊一致的,由定理1可知d1j=d1k-djk+0.5,1＜j＜k≤n成立.即

定理2 區間數互補判斷矩陣A=(Aij)n×n為一致的充要條件是(2)有解.

證充分性.由于(2)有解,從而存在一組λ=(λ12,λ13,…,λn-1,n)T,使得目標函數成立.由模糊一致矩陣的充要條件知,至少存在一個模糊一致矩陣D=(dij)n×n,即A是一致的.

必要性.由于A=(Aij)n×n是一致的,從而至少存在一個矩陣D是模糊一致矩陣,此時可有λ=(λ12,λ13,…,λn-1,n)T與D對應,即(2)有解.

3 決策模型

由于(2)式有解,即存在一個模糊一致互補判斷矩陣,可以利用文獻[11]中的排序公式

得到模糊互補判斷矩陣的排序.代入得到

為求解區間數互補判斷矩陣的權重,可構造如下的優化模型.

進而可以用Wi=[minωi,maxωi]表示區間數互補判斷矩陣中第i個方案的權重區間,在實際應用中可取β=(n-1)/2.

定理3 若區間數互補判斷矩陣A=(Aij)n×n是一致的,則得到權重的任何局部最優解也是全局最優解.

證由于目標函數和約束都是閉區間上的線性函數,從而都是凸集,由文獻[12]知,對于凸規劃此結論成立.

4 算 例[5]

設對一決策問題,有四個方案x1,x2,x3,x4可供選擇,專家在某一準則下利用0.1-0.9標度對決策方案進行兩兩比較,得到如下的判斷矩陣.

利用(3)式的線性規劃模型,用MATLAB軟件求得各方案的區間權重為

從而由區間數的中心大小,得到方案的排序為x2?x1?x4?x3,此排序結果與[4]一致.

5 結束語

本文給出了一種區間數互補判斷矩陣的排序方法.對于區間數互補判斷矩陣不是一致的情況,還需要進一步研究.本文對模糊互補判斷矩陣的一致性檢驗,區間數互補判斷矩陣的一致性問題的研究有一定的參考價值,同時為進一步研究其排序方法提供了一個思路.

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[12] R Horst,P M Pardalos,N V Thoai.全局最優化[M].黃紅選譯.北京：清華大學出版社,2003.

A New Ranking Method in the Interval Number Complementary Judgement Matrix

S H I Wen-lei, XU Lei
(College of Economics and Management,Hengshui University,Hengshui 053000,China)

By structuring equivalent matrix of interval number complementary judgement matrix,it gets a method for checking the consistency and a new decision making model of interval number complementary judgement matrix.Finally, a numerical example is given to describe the use.

intervalnumber complementary judgementmatrix;consistency;ranking;fuzzy complementary judgement matrix

C934

A

1672-1454(2010)03-0112-04

2007-10-23;[修改日期]2008-01-22

河北省科學技術研究與發展指導計劃項目(05457291);衡水學院一般課題(2009029,2009035)