一類廣義Vandermonde矩陣的可逆條件及求逆公式

趙振華, 蘇 翃, 邱利瓊

(重慶理工大學數學與統計學院,重慶 400054)

一類廣義Vandermonde矩陣的可逆條件及求逆公式

趙振華, 蘇 翃, 邱利瓊

(重慶理工大學數學與統計學院,重慶 400054)

利用廣義Vandermonde行列式的顯式表示式,給出了廣義Vandermonde矩陣可逆的充要條件及求逆公式.

Vandermonde矩陣;廣義Vandermonde行列式;逆矩陣

1 引言及定理

稱Dk為第一類n階廣義Vandermonde行列式,Dk,s為第二類n階廣義Vandermonde行列式(當s=n+1時,Dk,s=Dk,所以第二類廣義Vandermonde行列式Dk,s是第一類廣義Vandermonde行列式Dk的推廣).

Vandermonde矩陣與廣義Vandermonde矩陣在數值分析(如多項式插值等)、線性泛函逼近、數字信號系統(如信號重構、系統辨識)等自然科學及工程技術領域的許多問題中有廣泛應用.文[1-3]中給出了Vandermonde矩陣V的求逆公式,本文利用第二類廣義Vandermonde行列式Dk及Dk,s的顯式表示式,給出了判別廣義Vandermonde矩陣A可逆的充要條件,并給出了計算逆矩陣A-1的顯式表達式.主要結論有

定理1 廣義Vandermonde矩陣A可逆的充分必要條件是x1,x2,…,xn兩兩不同且

定理2 廣義Vandermonde矩陣A的逆矩陣A-1為

(注：由定理2可以很簡便地利用廣義Vandermonde矩陣A的元素求出逆矩陣A-1.)

2 幾個引理

引理1[4]對Vandermonde矩陣V有：

引理2[4]若δh表示x1,x2,…,xn這n個數中所有不同的h個數的乘積之和,即 δ＊h表示x1,x2,…,xn,y這n+1個數中所有不同的h個數的乘積之和,則有

引理3 第一類廣義Vandermonde行列式

3 定理的證明

3.1 定理1的證明.

3.2 定理2的證明.

其中Ai,j表示矩陣A的第i行、第j列(i,j=1,2,…,n)元素的代數余子式. (i)當j=1時,由引理3有

4 應用舉例

例 求廣義Vandermonde矩陣

[1] Neagoe V E.Inversion of the Van der Monde Matrix[J].IEEE Signal Processing Letters,1996,3(4)：119-120.

[2] Finch T,Heinig G,Rost K.An inversion formula and fast algorithm for Cauchy-Vandermonde matrices[J].Linear Algebra Appl,1993,183(4)：176—191

[3] 汪小琳.線性方程組理論的一個應用[J].純粹數學與應用數學,2003,19(3)：281-285.

[4] 張賢達.矩陣分析與應用[M].北京：清華大學出版社.2004：162-169.

Invertible Condition and Inversion Formula of a Kind of Generalized Vandermonde Matrix

Z HAO Zhen-hua, SU Hong, QIU L i-qiong
(School of Mathematics and Statistics,Chongqing Institute of Technology,Chongqing,400054,China)

By using the explicit expression of generalized Vandermonde determinant,the sufficient and necessary condition and the inversion formula of generalized Vandermonde matrix are obtained.

generalized Vandermonde matrix;generalized Vandermonde determinant;inverse matrix

O151.21

C

1672-1454(2010)03-0196-06

2007-12-25;[修改日期]2008-03-14