向量空間中若干問題的入微分析和研究

劉學鵬

(臨沂師范學院,山東臨沂 276005)

向量空間中若干問題的入微分析和研究

劉學鵬

(臨沂師范學院,山東臨沂 276005)

對向量空間中若干有代表性的問題進行了深入細致的分析和研究.

過渡矩陣;坐標;基礎解系;線性相關;線性無關

大凡高等代數或線性代數讀者,對向量空間理論的抽象性很可能仍記憶憂新,尤其對正在學習這部分內容的在校大學生,也肯定已經體會到向量空間的理論難以理解.基于此,我們的確有必要對向量空間中有代表性的問題進行深入細致的分析及研究.本文所論及的問題對正在學習或復習這部分內容的讀者可能會有所裨益,這也正是筆者所期待的.

另外,本文為線性代數理論系列研究的繼續,因為文[4],[5]及[6]已就線性代數理論中的逆向問題、反例問題和命題的正誤推論做了較為詳盡的分析和探討.

問題1 求過渡矩陣的技巧性問題.

點評 (i)求過渡矩陣的方法,通常可以采用定義法,即將“后”基的各向量用“前”基表示出之后,再以坐標為列構作的矩陣即是所求的過渡矩陣,盡管此法“少慢差費”,但這卻是好的基礎;

(ii)在上述推導過程中,我們已經得到了P=B-1A,這時,只要求出B-1,然后再與A相乘,同樣可以得到所求的過渡矩陣.

讀者不難發現,求過渡矩陣的方法還是以構作新矩陣,然后進行初等行變換的方法簡捷,因為這樣確能夠收到事半功倍之效.

問題2 齊次線性方程組與基礎解系的關系.

我們知道,齊次線性方程組永遠是有解的.且當其系數矩陣的秩小于未知量的個數時,必有基礎解系.現在來討論已知基礎解系時,如何求齊次方程組.

注 已知齊次線性方程組的基礎解系,反求原齊次線性方程組的方法,讀者可參見文獻[1] (P290-292).不過,我們這里用下面的方法.

例2 設某齊次線性方程組的基礎解系為

試求這個齊次線性方程組.

解 設所求齊次線性方程組的系數矩陣為A.由題設知,秩A=5-2=3.則所求方程組只有三個獨立方程,兩個自由未知量,且所求方程組的一般解為

問題3 向量的坐標與線性方程組的增廣矩陣的關系.

設向量β在基α1,α2,…,αm下的坐標為(x1,x2,…,xm),則

點評 求向量的坐標,我們上面的推導是利用了線性方程組的理論,將文獻[1](P442-444)的方法1和方法2進行了有機的結合,從而使得依據充分,方法簡捷而明快.

問題4 向量的線性相關性與齊次線性方程組的解之間的關系.

判斷向量組α1,…,αm的線性相關性一般借助關系式

由此可得到向量的線性相關性與齊次方程的解的水乳交融的關系.即

向量組α1,…,αm線性相關(無關)?齊次線性方程組AX=0有非(只有)零解?秩A＜=m.

點評 這是一個較為普通的問題,但應引起讀者重視的是,問題普通但卻非常重要,因向量的線性相關性是向量空間理論乃至整個高等代數或線性代數理論的重要基礎.

關于這類問題的例子,各家高等代數或線性代數教科書及相關資料均有所列舉,故而我們不再舉例.

問題5 向量的線性組合(表示)與線性方程組解的關系.

今設向量α1,…,αm,β均為列向量,若β是α1,…,αm的線性組合,即有一組數x1,…,xm,使得

這是由線性組合到線性方程組的微妙微肖的轉化.故而可見:

β是α1,…,αm的線性組合?線性方程組AX=β有解?秩

問題6 向量α,β的線性相關性與二階行列式的關系.

我們知道,在歐氏空間V中有著名的柯西—布涅可夫斯不等式,即對?α,β∈V,有

今聯系二階行列式給出等號的證明.

點評 這是何等的巧妙!因為只要利用向量α,β作出上面的二階行列式,問題就迎刃而解了,所以,技巧就是構作二階行列式,而構作的二階行列式主要是根據要證明的等式的特點.

問題7 柯西—布涅可夫斯不等式的巧妙應用.

點評 這個證明也是相當美妙!美妙在利用所給的兩個正實數m,n作出了兩個向量α與β,隨即利用了內積的通常定義.

問題8 歐氏空間中向量夾角定義的自然性.

在中學數學中有余弦定理:設α,β為三角形的任意兩邊(向量表示),則另一邊為β-α,若α,β的夾角為θ,則有

這正是歐氏空間中向量夾角的定義.

點評 (i)對于抽象問題的定義能夠借助已有的知識自然給出,這對于讀者(尤其是初學者)的記憶和理解應該說是很有幫助的;

[1] 毛綱源.線性代數解題方法技巧歸納(第二版)[M].武漢：華中理工大學出版社,2003.

[2] 周士藩,等.高等代數解題分析[M].南京：江蘇科技出版社,1985.

[3] 王卿文.高等代數學綜論[M].香港：香港天馬圖書有限公司,2000.

[4] 劉學鵬.線性代數理論中幾個問題的逆向研究[J].大學數學,2005,21(5)：112-115.

[5] 劉學鵬.線性代數理論中經典命題的反例研究[J].大學數學,2007,23(6)：174-177.

[6] 劉學鵬,徐傳勝.線性代數理論中兩個典型命題的正誤推論研究[J].高等數學研究,2008,11(6)：16-18.

An In-depth Analysis and Research of Some Issues in Vector Space

L IU X ue-peng
(Linyi Normal University,Linyi,Shandong,276005,China)

To make an in-depth and detailed analysis and study on several representative issues in vector space.

transistion matix;coordinate;basic set of solutions;linearly dependent;linearly independent

O151

C

1672-1454(2010)03-0173-04

2007-08-24;[修改日期]2008-03-28