在三個狀態下兩個相同部件并聯的可修系統解的穩定性分析

阿不都克熱木阿吉白麗克孜玉努斯

1.新疆大學數學與系統科學學院; 2.新疆大學機械工程學院

在三個狀態下兩個相同部件并聯的可修系統解的穩定性分析

阿不都克熱木1阿吉1白麗克孜2玉努斯2

1.新疆大學數學與系統科學學院; 2.新疆大學機械工程學院

本文用C0-半群理論和正算子理論證明三個狀態下兩個相同部件并聯的可修系統時間依賴解是強漸近穩定的.

C0 -半群; Dirichlet 算子; 譜; 豫解集

1，引言

隨著科學技術的發展，電子產品以及信息網絡的廣泛應用，系統的可靠性、穩定性分析變得 越來越重要.三個狀態下兩個相同部件并聯的可修系統在通訊、計算機網絡等領域中有廣泛 的應用， 所以研究該系統的適定性和穩定性分析不但從理論還是從實際都具有重要意義.在三個狀態下由兩個相同部件組成的并聯可修系統由以下方程組描述

其中p0(t)表示在時刻t兩個部件完好的概率； p1(x，t)表示在時刻t一個部件完好另一個部件故障并且故障的部件在(x，x+dx]內被修好的概率；λ表示部件的平均壽命； μ(x)表示部件的修復率， 滿足

k表示正比失效率: k=1時表示并聯；0＜k＜1時表示熱備；k =0時表示冷備.當兩個部件都完好時，一個部件工作， 一個部件儲備， 儲備的部件的失效率為k λ.在文獻[1]中作者在以下的條件下

用Laplace變換研究了此模型.他給出了解的Laplace 變換公式，即得到了解的存在性.在文獻[2]中作者用C0-半群理論證明了該模型的非負解的存在唯一性.在文獻[3]中當系統冷備及修復率函數μ(x)為常數μ時通過研究相應算子的譜特征得到了該系統的解 p(x， t)的強漸近穩定性。在文獻[4]中作者當修復率函數μ(x)滿足0＜μ≤μ()≤μ＜∞時通過直接估計冷備狀態下系統的主算子的預解式得到了該系統的時間依賴解的強漸近穩定性.在文獻[5]作者中當修復率函數 μ() 滿足0＜μ≤μ()≤μ＜∞時， 證明了冷備狀態下系統的間依賴解的是指數穩定的.到這里， 我們自然回提出這樣一個問題: 對修復率函數μ(x) ， 在熱備與并聯狀態下系統的該系統的時間依賴解是否強漸近穩定性的？這是一個沒有解決的問題。要證明， 采取估計預解式的方法是不行的， 即估計預解式是非常困難的事情.為了克服這個困難， 避免過于繁瑣的計算， 在本文中，我們將利用主算子的特征方程的技巧，當修復率函數μ(x)為有界可測函數且系統在冷備、熱備與并聯狀態下時證明該模型的時間依賴解是強漸近穩定的，即該模型的時間依賴解按范數意義下趨向于0。由此看出， 文獻[3]與文獻[4]的結果是本文結果的特殊情況。取

為狀態空間.顯然X是一個Banach空間.為簡單起見， 以下引入算子及其定義域。

其中， ψ是如下的線性泛函:

D是在空間W1，1[0，∞)上的如下算子:

定義算子 (A， D(A)) 如下:

則以上方程(1)～(4) 可以寫為Banach空間 X 中的抽象常微分方程:

在文獻[2]中作者得到了以下結果:

定理1算子(A，D(A)) 生成正壓縮C0-半群 (T(t))t≥0.

2 主要結果

在這一段中我們首先研究算子 A 的譜特征， 然后研究系統時間依賴解 p(x， t) 的漸近穩定性.如果我們定義算子 (A0，D(A0 )) 如下:

那么根據[4，Lemma1.2]， 對任意γ∈ρ(A0)， 有

經過簡單計算可以表示 ker(γ-Am ) 中的元素如下:

由于 L是滿射，對每個

是可逆的(見[6，Lemma1.2])。我們把它的逆記為

并且稱D γ為Dirichlet算子.

下面的是D γ的具體表達式:

引理1對每個γ∈ρ(A0)， 有

如下用算子 D γ和 Φ 來表示相應算子 A 的特征.為此，我們就象在文獻[7，Sect.3]中的方法給出如下定義:

引理2 設γ∈ρ(A0)，若存在γ0∈C，使得

證明 就象在文獻[7， Prop.3.3]方法一樣， 我們首先證明

因為我們有

所以由此可知， γ∈A 可逆當且僅當 I∈BR(γ， A0 ) 可逆.由于

由此可知， I-BR(γ，A0)可逆等價于1∈/σ(ΦD γ)， 因此，(8)成立.由假設1∈/σ(ΦDγ0)可推出γ0∈ρ(A)， 即ρ(A)=從而由[8， Prop.IV.2.17]得到σ(A)=σ(A)，

由于A是A在X0的限制.這表明(7) 成立.

證明 注意到

并且設γ∈iR，γ=ai.對0≤k≤1， 我們可以估計ΦDγ的范數如下:

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10.3969/j.issn.1001-8972.2010.11.014

新疆大學博士基金項目(No.BS080108)資助