具有非線性輸入的撓性充液航天器自適應模糊控制*

王佐偉，郭建新，董海鷹

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術國家級重點實驗室，北京 100190；3.蘭州交通大學自動化與電氣工程學院，蘭州 730070)

隨著空間技術的發展以及空間任務要求的提高，現代大型航天器的結構日趨復雜.這些航天器往往帶有大型液體燃料貯箱、大型撓性附件(如太陽帆板和天線)以及可轉動部件等.以大型地球同步軌道衛星為例，這類衛星通常帶有多個液體燃料貯箱和南北兩塊太陽帆板，貯箱中的全部燃料占整星質量的一半以上，而太陽帆板展開后的撓性基頻很低.軌道轉移時，系統的動力學非常復雜[1]，主要體現在以下幾個方面：①液體燃料的晃動帶來相應的干擾力矩；②太陽帆板的撓性振動對衛星本體姿態產生干擾；③繼電器型的噴氣執行機構以及具有飽和特性的敏感器帶來了較強的非線性；④燃料的不斷消耗導致系統動力學特性變化隨時間變化；⑤在工程上液體晃動模型和撓性振動模型通過有限元和地面實驗建立，存在參數和結構的不確定性；⑥3個姿態控制通道之間存在動力學耦合.因此，這類航天器在軌道轉移時，是帶有液體晃動和帆板撓性振動，具有不確定性、時變、非線性的高階復雜對象，給控制系統的設計帶來了較大難度.

對于撓性充液航天器的姿態控制，在工程實踐中通常采用經典控制理論進行設計和分析[1-2]，這種方法將對象按線性定常系統簡化，對于時變特性，采用的主要做法是按特征點分別設計多組控制器.這種設計方法適用范圍有限，需要結合工程經驗反復校核、折衷.近年來，自適應控制、魯棒控制等新型控制方法被陸續引入到充液航天器的姿態控制中[3-5].文獻[3]研究了液體遠地點發動機工作期間衛星姿態的全系數自適應控制問題，取得了比經典控制方法更為優越的結果，但所采用的動力學模型限于單個俯仰通道，忽略了通道間的非線性耦合因素.

撓性充液航天器在軌道機動時，其姿態控制系統一般采用噴氣推力器作為執行機構，屬于恒定推力的開關式控制.控制算法給出的信號需要通過脈沖調制環節轉換為驅動推力器工作的脈沖信號.脈沖調制環節通常由偽速率調制器(PRM, pseudo rate modulator)實現[2]，是一種強非線性環節.由于該環節的存在，系統的控制輸入屬于非線性輸入.這種非線性輸入的引入大大增加了控制系統分析和設計的難度[6].目前針對死區、飽和等典型非線性輸入的控制問題已取得了不少成果[7-9]，但尚未見到針對PRM這種復雜非線性輸入環節的現代控制算法的研究工作.

基于模糊邏輯系統(FLS, fuzzy logic system)的控制器設計方法在處理非線性、模型不確知問題中效果顯著[10].模糊邏輯系統對于非線性系統具有良好的逼近性能，并可有效地利用專家提供的語言模糊信息.本文針對軌道轉移階段的撓性充液航天器的姿態控制問題，提出了一種基于直接型自適應模糊邏輯系統和誤差補償的改進控制算法.在該算法中，將具有自適應學習算法的模糊邏輯系統直接充當非線性控制器，并引入基于飽和函數的穩定補償律進一步提高控制性能.本文考察的動力學模型為完整的三通道模型，考慮了各姿態通道之間的耦合及高階未建模因素，研究結果具有較強的實用性.

1 問題描述

1.1 撓性充液航天器動力學模型

不失一般性，假設所考察的航天器由剛性中心體、南北兩塊撓性太陽帆板以及兩個串聯型液體燃料貯箱組成.根據工程上的常規做法，按照等效原理建立液體晃動的等效擺模型.在該晃動模型中，全部液體質量分為固定質量和晃動質量兩部分.將除去晃動質量后的航天器作為基本體，將本體坐標系OXYZ的原點O取為平衡狀態下的基本體質心,如圖1所示.下面簡要介紹液體晃動等效擺模型的建立過程，詳細推導可見文獻[1，11].

圖1 液體晃動模型示意圖

先以一個貯箱為例進行等效擺建模.貯箱中的液體由若干等效單擺組成.記第k個單擺的質量為mk，擺長為lk，擺角為γk1、γk2，懸掛點相對O點的位置矢量為hk，與坐標軸重合的單位矢量分別為X、Y、Z.擺質量的平衡位置矢量為Lk=hk-lkZ.當擺運動時，擺質量的位置矢量為Lk+lkγk，其中γk=γk1X+γk2Y.

第k個擺對航天器本體的作用力(忽略高階小量)以及對O點的力矩[1]分別為

(1)

mkLk×aR+gZ×mklkγk

(2)

從工程實用的角度建立完整的動力學模型.液體晃動模型取一階振型，第i個撓性附件的模態向量qi取前5階振型.將矢量和并矢張量在坐標系OXYZ下以向量或矩陣形式表示.

完整的動力學方程[1]如下：

(3a)

(3b)

(3c)

(3d)

式中：j=1,2表示第j個貯箱中的一階等效擺；i=1，2表示第i個撓性附件；mb和Ib分別表示基本體的質量和慣量；ζi為第i個撓性附件的結構阻尼矩陣；Λi和ΛSi分別為第i個撓性附件的模態角頻率矩陣及角頻率平方矩陣；BTi和BRi分別為第i個撓性附件的平動及轉動耦合系數矩陣；dj和λj分別是第j個貯箱中一階晃動振型的阻尼比和角頻率；P12為投影算子，作用是在3維向量中取1、2分量；(·)×表示叉乘矩陣.

1.2 控制系統方程及控制目標

(4)

式中：H(·)為時變非線性函數向量，由于其表達式復雜而繁瑣，此處從略；Is為整星轉動慣量陣；Tc為控制力矩向量.

如前所述，在撓性充液航天器的軌道機動中，其姿態控制系統中包含了強非線性環節PRM.因此，式(4)的方程需要進一步變換為如下形式：

(5)

式中，N(·)表示包括PRM和推力器組合邏輯在內的非線性環節，Uprm為控制律給出的控制輸入量.

(6)

式中，C1、C2為方向余弦陣，ω0為軌道角速度.

將式(6)代入式(5)并記X=Φ，可獲得如下狀態方程：

(7)

根據航天器姿態運動的特點，在小角度的控制要求下，滾動、俯仰、偏航3個通道通常可以分別測量和控制，C1近似為單位矩陣，Is近似為常值對角陣，子系統的耦合影響可以作為干擾處理，則式(7)所示的多輸入/多輸出(MIMO)系統可以看作由3個解耦子系統組成，每個子系統為二階非線性系統，表達式如下：

(8)

(9)

就實際的控制系統而言，還有許多具體因素需要考慮.在本文的研究中，姿態敏感器主要是太陽敏感器和速率陀螺，分別用于姿態角和角速度的測量.在分析和仿真中，敏感器的動態特性和測量噪聲也是不可忽視的.

1.3 PRM數學模型

PRM是一種強非線性環節(見圖2)，其輸出為單位化的脈沖序列.其脈沖平均值[1,12]可表示為

(10)

式中，h1和h2分別為施密特觸發器的開閾值和關閾值，Km>0和Tm>0分別為濾波反饋環節的增益系數和時間常數.

可見，PRM的平均輸出值與輸入值成正比.在計算機上離散實現時，可進一步將PRM表示為

(11)

式中，Cp(·)是無法用具體解析式描述的非線性函數，其值使得n(uk)為1或-1或0.雖然Cp(·)很難用具體解析式表達，然而利用控制器中包含的模糊邏輯系統卻可以對其動態逼近，這正是本文的核心思想之一.

在控制律的設計中應對控制量u限幅，即|u|≤umax，因此Cp是有界的(記其界為Cpm)，即滿足|Cp|≤Cpm.

2 控制器設計

圖2為以撓性充液航天器為對象的單軸控制系統原理框圖.圖中，虛線框所示部分為偽速率調制器PRM，控制律給出的控制量u經過該環節后被調制成不同脈寬和頻率的脈沖序列信號n(u)，并驅動相應的推力器給出最終的控制力矩Tc；參數自適應律根據誤差反饋對控制律中的模糊邏輯系統的參數進行自動調整.

圖2 控制系統原理框圖

控制律表達式如下：

u=u0+us

(12a)

u0=θTξ(e)

(12b)

us=assat(eTRh)

(12c)

式中：u0項為基本控制律，由模糊邏輯系統FLS實現；us項為穩定和補償控制律，主要作用是保證大誤差情況下的穩定性并對調節誤差作進一步補償.飽和函數sat (·)定義如下：

sat (x)

ATR+RA=-Q

(13)

式中，

顯然，如果主動力學f(x)已知，則存在如下理想控制律使得：

將式(12a)代入式(9)并整理可得

(14)

下面基于穩定性要求，考查自適應模糊邏輯系統θTξ(e)的設計.

定義FLS中參數向量θ的最優估計值為

θ*

則FLS的最小廣義逼近誤差為

根據上述θ*和w*的定義并結合式(11)所示的表達式，可將式(14)重新寫成如下形式：

(15)

根據調節誤差的定義不難由式(15)得到如下調節誤差方程：

(16)

式中，ε

根據式(16)及穩定性要求設計如下形式的參數調節律：

(17)

其中，Mθ為給定的閾值，r2為矩陣R的第2列，P(·)為投影算子[10]，表達式如下：

3 穩定性分析

閉環系統的穩定性歸結為如下定理.

定理1.對于式(9)所示的非線性系統，如果f(x)和d(x,t)有界，FLS的參數初值滿足限定范圍，采用式(12)所示的控制律以及式(17)所示的參數調節律，則有：

a)FLS參數和系統狀態有界，即‖θ‖≤Mθ，‖x‖≤Mx；

證明.FLS參數的有界性由投影算法加以保證，其證明過程可參見文獻[10]，不再贅述.下面證明其余結論.選取如下Lyapunov候選函數：

(18)

對式(18)進行時間求導并將式(16)代入得

(19)

將式(17)及us的表達式代入式(19)得

式中：若式(17)的第1式成立，有L1=0；若式(17)的第2式成立，有L1=1.

根據參數調節律的特點和投影算法的性質[10]，可知上式中最后一項非正，因此有

根據ε的定義及其組成部分的物理意義，|ε|max是存在的.根據飽和函數的定義，則

1)當|eTr2b|<δs時，有

2)當|eTr2b|≥δs時，同理有

只要適當選擇參數使之滿足as>Km|ε|max，則有

4 數學仿真

以一類帶有兩個串聯燃料貯箱、兩翼撓性太陽帆板、一個撓性傘狀天線的靜止軌道衛星為假想對象，利用數學仿真驗證本文提出的控制方法.

在數學仿真中，干星的慣量質量及帆板撓性模態頻率等參數設置如下：

md=2180 kg,

Λ1=Λ2=diag{0.18,0.40,1.10,1.25,3.35} Hz，

Λ3= diag{1.10,1.80,2.50,2.61,2.68} Hz.

本文主要考查液體發動機遠地點變軌時的姿態控制性能.在變軌過程中，考慮如下幾種干擾力矩：①遠地點發動機點火產生的干擾力矩，三軸分別為[4.87, 4.87, 0.1] N·m；②太陽光壓力矩，緩慢變化，最大值約1×10-4N·m；③其他干擾力矩，假設為零均值、均方差2×10-4N·m的白噪聲.

其他仿真條件如下.角速度由速率陀螺測量，測量誤差：殘余常值漂移0.15(°)/h、噪聲均方差0.15(°)/h.滾動和俯仰姿態角由太陽敏感器測量，測量誤差：均值0.02 °、均方差0.03 °.偏航姿態角由積分陀螺測量，測量誤差：均值0.02 °、均方差0.01 °.采樣周期0.064 s.初始條件為：姿態角速度分別為[5×10-3,-5×10-3,-8×10-3] (°)/s，姿態角分別為[0.2, 0.2, 0.3] °；貯箱充液比80%，晃動位移0.005 m.假設遠地點發動機點火10 min.

模糊系統的隸屬度函數取為高斯型，每個變量的模糊規則數目為5條.在初始規則的設置中，利用了從已知動力學和控制特性中直觀得到的語言模糊信息.系統主要參數如下：

采用常規控制算法(由PID和系列濾波器組合而成)的仿真結果如圖3～5所示，600 s內三軸姿態控制累積噴氣時間為175.0 s、140.3 s、6.3 s.采用本文算法的仿真結果如圖6～8所示，三軸姿態控制累積噴氣時間為178.1 s、139.1 s、6.3 s.

可見，與常規控制算法相比，在噴氣消耗量大體相當的情況下，本文提出的控制算法在超調量、過渡過程時間、穩態精度等方面具有更好的控制效果.其主要原因在于：與常規控制算法相比，模糊邏輯系統對復雜非線性對象具有更好的逼近和適應能力，而本文給出的穩定補償律進一步提高了對控制誤差的反饋抑制能力.

圖3 星體姿態角(常規算法)

圖4 星體姿態角速度(常規算法)

圖5 噴氣脈沖(常規算法)

圖6 星體姿態角(本文算法)

圖7 星體姿態角速度(本文算法)

圖8 噴氣脈沖(本文算法)

5 結 論

大型撓性充液航天器的動力學比較復雜，控制難度較大.本文針對這類復雜航天器變軌過程中的姿態控制問題，研究了一種基于直接型自適應模糊邏輯系統和誤差補償的穩定控制算法，分析了閉環系統的穩定性.仿真結果表明，本文提出的控制算法效果良好，計算量不大，具有一定的應用價值.