脈沖星導航的整周模糊度解算方法研究*

黃 震，李 明，帥 平

(中國空間技術研究院，北京 100094)

X射線脈沖星導航(XPNAV)是一種全新的航天器自主導航方法.它直接探測來自于脈沖星的X射線光子，使在軌航天器可以高精度地自主確定包括位置、速度、姿態(tài)和時間在內(nèi)的全部導航信息.這種導航系統(tǒng)不僅可以為航天器提供10 m量級的自主定軌精度，而且還可以為導航衛(wèi)星提供外部的時空基準，解決導航星座的整體旋轉問題[1]，廣泛適用于地球衛(wèi)星、深空探測器和行星著陸器，具有重要的理論研究意義和工程實踐價值.

XPNAV導航系統(tǒng)的幾何定位原理是：通過測量同一個脈沖信號到達太陽系質(zhì)心(SSB)和到達航天器所在位置的時間差(TDOA)來確定航天器相對于SSB在脈沖星視方向上的距離，從而估算出航天器在太陽系中的位置平面，若對3顆或3顆以上的脈沖星進行觀測，就可以得到一系列可能的位置平面，這些平面的交點就確定了航天器在空間中的真實位置[2].

TDOA可以通過比較脈沖波形的相位差間接提取.但是在航天器上測量得到的脈沖相位只能反映實際相位的小數(shù)部分[3]，而從航天器到SSB的距離上究竟存在多少個整周期的脈沖信號卻無法測量，只能通過數(shù)學方法獲得脈沖整周數(shù)的估計值，這就是脈沖星導航中的整周模糊度解算問題.可以說，整周模糊度的確定直接決定了XPNAV導航系統(tǒng)的所有預報參數(shù)的正誤.因此本文對基于XPNAV導航的整周模糊度進行了初步探索和研究.首先通過與GPS載波相位模糊度的對比，分析了脈沖星信號整周模糊度的基本特征，然后根據(jù)其特點提出了3種可能的模糊度解算方法，最后通過數(shù)值仿真分析驗證了這些方法的有效性.

1 脈沖相位模糊度的基本特征

脈沖星導航中的整周模糊度解算方法可以借鑒GPS載波相位模糊度解算問題的快速求解方法，但是由于X射線脈沖星輻射信號的特點，兩者也存在著不小的差距，具體體現(xiàn)在：

1)作為人造系統(tǒng)，GPS的導航電文中添加了衛(wèi)星的星歷信息和電文播報的時標信息，可以輕易地計算出衛(wèi)星到接收機天線間的偽距；而X射線脈沖星到太陽系的距離十分遙遠，其距離不能精確測定，且沒有任何附加信息.

2)任意一顆GPS衛(wèi)星均在L1和L2個中心頻率上播發(fā)導航信號，可以通過高精度地測量雙頻偽距解算出載波的模糊度[4]；而X射線脈沖星僅有1個頻段的輻射信號.

3)目前每顆GPS衛(wèi)星的導航電文都在L頻段播報，其信號波長比較統(tǒng)一，利于空間劃分和搜索；而脈沖星的輻射信號波長完全由脈沖星的自轉周期決定，其波長可相差1000倍.

4) GPS載波相位模糊度解算方法中需要考慮多徑效應、電離層延遲等影響因素；而在X射線脈沖星導航系統(tǒng)的模糊度解算中，由于接收設備在地球大氣層以上，通常只需考慮系統(tǒng)噪聲和測量誤差的影響.

5) GPS導航電文的波長相對較小，僅為20 cm，一旦發(fā)生周跳現(xiàn)象將嚴重影響導航精度，需要立即通過先進的數(shù)學方法進行估算，修復失鎖的模糊度參數(shù)；而脈沖星輻射信號的波長均在幾百公里以上，在通常情況下，即使發(fā)生整周計數(shù)跳變，航天器仍然可以根據(jù)先驗的軌道預報信息，正確地估計出所有脈沖星的相位模糊度.

可見，脈沖星導航的整周模糊度在通常情況下并不需要專門求解，但是當電子計數(shù)器發(fā)生故障、導航系統(tǒng)初始化或處于恢復階段、深空探測器完全迷失方位等極端情況下，即不能保證當前航天器位置的預測值與真實值相差100 km以內(nèi)時，才需要進行整周模糊度解算.由于脈沖星輻射信號沒有星歷、時鐘等信息，一般僅能采用空間搜索法進行解算[5].

2 脈沖星整周模糊度解算的一般方法

空間搜索法按搜索空間可以分為在模糊度估值域的搜索和在坐標估值域的搜索兩類[6]，是解算脈沖星信號整周模糊度問題的首要方法.圖1以二維平面為例，描述了在模糊度估值域進行空間搜索的一般方法.圖中搜索信號1和搜索信號2的平行線表示所有脈沖相位為測量相位的空間點集，平行線間距表示脈沖信號的一個周期.這些平行線在二維平面內(nèi)交織成網(wǎng)，其在搜索半徑以內(nèi)的交點組成了模糊度估值域，在這些待測的模糊度估值中，與檢測信號的測量相位相符的就是要解算的正確模糊度(TA，true ambiguity).本文采用3種模糊度空間搜索法進行解算，現(xiàn)分別介紹如下.

圖1 二維平面內(nèi)的模糊度空間搜索法示意圖

2.1 單差搜索法

單差是指航天器在軌觀測的脈沖相位與該時刻SSB預報的脈沖相位之差.采用單差搜索法，首先要建立整周模糊度的搜索空間，確定模糊度的估值域.模糊度搜索空間是一個關于中心點對稱的三維空間，其中心點的選取應視情況而定.對于計數(shù)器故障造成的模糊度跳變，可以選取最近已知的空間位置作為搜索中心；對于導航系統(tǒng)正處于初始化階段的地球衛(wèi)星可以選取地球質(zhì)心為中心點；對于迷失在宇宙中的深空探測器可以選取任意已知點作為模糊度搜索空間的中心.模糊度搜索空間的搜索半徑可以選取為航天器所有可能的空間位置與搜索中心之間的最大距離.

利用式(1)可以建立空間搜索范圍與模糊度取值范圍的對應關系：

(1)

任選3顆導航脈沖星按式(1)進行變換可以得到3個模糊度取值空間，對這些待定模糊度進行組合就形成了待搜索的模糊度估值域.在模糊度估值域中任選1個元素，記作：(ΔN1，ΔN2，ΔN3)，則有[7]：

(2)

式中，X是航天器相對于SSB的位置向量，ΔNi為選定的脈沖相位整周模糊度，Δφi為觀測相位與SSB預報相位之差.由此可反求出航天器位置的預測值Xe.

將計算得到的預測值Xe代入式(3)統(tǒng)計相位殘差，當殘差的模大于某臨界值(如0.1)時，便將該組模糊度估值從域中剔除.重復該匹配過程，直至域中剩余最后一個元素，就是要求解的相位模糊度.

(3)

式中，函數(shù)round(·)表示對變量按四舍五入取整數(shù).

2.2 最小二乘搜索法

最小二乘搜索法的基本思想是，在所有的雙差整周模糊度中，只有3個是獨立的，即只要能確定3個脈沖相位雙差模糊度就可以唯一確定所有的雙差模糊度.雙差觀測量如式(4)所示：

(4)

式中，Δ▽Nij是雙差模糊度，Δ▽φij是雙差相位.雙差觀測量實際上是兩個單差觀測量之差，采用雙差模糊度代替單差模糊度可以消除兩個觀測量之間的公共誤差，提高篩選效率.最小二乘搜索法的具體方法可以分為以下3步：

(1)確定模糊度搜索空間

最小二乘搜索法也是在模糊度估值域內(nèi)的搜索方法，其搜索空間的確定與單差搜索法十分接近.需要注意的是，該模糊度估值域是3個模糊度取值空間的差的組合，即

(5)

(2)最小二乘確定位置估值

由于所有雙差模糊度方程中只有3組是獨立的，因此在模糊度估值域中的任何一個元素都能唯一確定所有脈沖信號的雙差模糊度，稱為模糊度預測值.將該組模糊度預測值代入式(4)中可以得到一系列方程，以矩陣的形式表述為：

(6)

式中，A為量測方程的系數(shù)矩陣，Z為量測向量.則對航天器位置的預測值Xe可以根據(jù)最小二乘準則得到：

Xe=(ATA)-1ATZ

(7)

(3)固定整周模糊度

將利用最小二乘法得到的位置預測值Xe代入方程(4)中，計算出每個脈沖信號的相位殘差向量V，其方差因子可以寫成矩陣的形式[4]：

(8)

式中，C為雙差相位觀測量的協(xié)方差陣，n為脈沖相位雙差觀測值的個數(shù).若σ2小于某一限值，則保存該組模糊度估值和σ2，重復(2)、(3)步，直到所有模糊度估值對應的方差因子σ2均小于該定值為止.

此時，模糊度估值域中若僅剩余一個元素，則該模糊度估值即為正確的整周模糊度.否則對所有保存的σ2進行檢驗，令

(9)

式中，下腳標sub min表示次小值，min表示最小值.若Ratio>2，則認為σ2最小值所對應的整周模糊度估值為正確的整周模糊度.

2.3 模糊度函數(shù)法

模糊度函數(shù)法是在坐標估值域內(nèi)的空間搜索法，它首先將整個搜索空間劃分成均勻的密集的網(wǎng)格，然后比較每個網(wǎng)格中心點的脈沖相位與測量相位的差異，剔除差異大的格點，直至搜索到正確的坐標.利用模糊度函數(shù)的解算步驟如下：

(1)確定坐標估值域

首先按照與模糊度估值域搜索法相同的方法確定搜索空間中心O和搜索半徑R，然后以首顆觀測脈沖星信號波長的1/10為邊長，將整個空間劃分成大量的小立方體，每個小立方體的中心代表一個坐標估計值.

(2)網(wǎng)格細化搜索

脈沖星導航的模糊度函數(shù)可以定義為：

A(x,y,z)=exp(2πi[Δφ(Xr)-Δφ(X)])

(10)

式中，(x,y,z)表示待檢測點的三維坐標，Xr和X分別表示航天器和網(wǎng)格點相對于太陽系質(zhì)心的位置向量，Δφ(·)表示該位置的脈沖相位，其中Δφ(Xr)由星載X射線探測器直接測量，通過微弱信號處理技術直接獲得；Δφ(X)可以通過式(11)進行估算.

ΔN+Δφ(X)

(11)

式中，D0表示脈沖星到太陽質(zhì)心的距離，b表示SSB相對于太陽質(zhì)心的位置向量，μ表示太陽引力常數(shù).為計算方便，仿真忽略了SSB和地球質(zhì)心的位置誤差.

對坐標估值域進行網(wǎng)格細化，首先將第(1)步產(chǎn)生的所有坐標估計值代入式(10)中，若A(x,y,z)>0.855，則表示真實位置可能在以該坐標估值為中心以0.1λ為邊長的立方體內(nèi)，保存該坐標估值；然后將通過第一輪篩選后剩余的所有立方體細化為1000個以0.01λ為邊長的小立方體，同時對坐標估值域進行更新；最后將所有小立方體的中心點作為坐標估值再次代入式(10)中進行第二輪篩選，若模糊度函A(x,y,z)>0.998，則保留該坐標估計值.

(3)確定整周期模糊度的解

完成第(2)步以后，若坐標估值域中僅剩余1個元素，則該元素即為模糊度的解.若仍存在多個網(wǎng)格點，則需要判斷這些點是否集中在半徑為100 km的球內(nèi)，若所有格點聚集成團，則說明航天器位置的真實值就在這個小區(qū)域內(nèi)，可以用它們的均值作為位置的估計值，解算所有脈沖信號的模糊度；若格點不集中，則說明觀測數(shù)據(jù)不足，還需要增加下一歷元的觀測數(shù)據(jù).

值得注意的是，歷元更新后，所有的坐標估計值都需要做相應的位置推移.另外由于脈沖星波長差異很大，每次轉換觀測目標都需要將待定的搜索空間按新信號波長的1/100重新劃分網(wǎng)格點，并對坐標估值域進行相應地更新.

3 仿真計算

本文選取了10顆典型的導航脈沖星進行仿真計算[8-9]，其數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 脈沖星數(shù)據(jù)表

假定情景為：地球衛(wèi)星因故障而完全迷失，導航系統(tǒng)重啟后進行初始化，需要重新解算其位置的模糊度.因此，仿真系統(tǒng)將搜索中心定為地球的質(zhì)心，搜索半徑為4萬公里，設此時航天器真實的運行軌道為：長半軸a=26 578 100 m，偏心率e=0.001，傾角i=65°，升交點赤經(jīng)Ω=120°，近地點幅角ω=30°，過近地點時刻τ=0.測量相位信息由航天器真實位置和TOA轉換模型[10]計算生成.一般認為要獲取來自X射線脈沖星的脈沖信號輪廓需要500 s以上的積分時間，因此本文的仿真計算步長設定為500 s.

3.1 模糊度估值域搜索法

單差搜索法和最小二乘搜索法都屬于模糊度估值搜索法，其性能如表2所示.表中模糊度搜索空間表示初始時刻模糊度估值域的大小，正確率指用最終確定的模糊度估值推算表1中列舉的所有脈沖星的相位模糊度的正確率.從表中可以看出，這兩種方法的解算正確率都是100%，均可以滿足模糊度在軌解算的需求.

表2 模糊度估值域搜索法比較

雖然單差搜索法的模糊度搜索空間遠小于最小二乘搜索法，但是由于最小二乘搜索法采用了Ratio判據(jù)，減少了系統(tǒng)的迭代次數(shù)，使得二者的總體運算次數(shù)在同一量級.同時，最小二乘搜索法采用了雙差相位觀測量，削弱了觀測量共同誤差的影響，所以可以利用更少的脈沖星數(shù)據(jù)正確地計算出相位模糊度.另一方面，該方法采用了最小二乘法推算航天器位置預測值，比單差搜索法利用3個方程直接求解得到的預測值更加接近于真實值，因此大幅度縮小了殘差，提高了該搜索方法的準確度和穩(wěn)定性.

比較式(11)、式(2)和式(4)可以發(fā)現(xiàn)，式(2)和式(4)是航天器位置與相位關系的簡化形式，所以在仿真中用式(2)和式(4)計算得到的相位預測值與用式(11)計算的“真值”相比，存在10%左右的偏差.仿真試驗表明，引入10%左右的相位偏差，并不會影響模糊度參數(shù)確定的正確率，但卻需要額外多增加2～3顆脈沖星的觀測數(shù)據(jù).

3.2 坐標估值域搜索法

設仿真過程中速度誤差為: [0.5 m/s, 0.5 m/s, 0.5 m/s]T，則采用模糊度函數(shù)法的仿真系統(tǒng)利用了7顆脈沖星的相位觀測量正確地搜索出了所有脈沖相位的整周模糊度，其相位殘差僅為0.00115周，可以用于航天器的模糊度解算.但是，模糊度函數(shù)法作為坐標估值域搜索法的一種，其運算量遠大于模糊度估值域搜索法，詳見表3.

表3 模糊度函數(shù)法搜索范圍

特別是由于脈沖星的波長差距很大，每次更換觀測目標都需要對尚未排除的搜索空間進行重新劃分，這種重復的空間劃分將不可避免地產(chǎn)生搜索空間重疊的情況，耗費了大量的計算資源，需要進一步的研究加以改進.

為了減少計算量，仿真中采用了逐步細化的方法分4次將空間細分成邊長為0.0125λ的立方體集合，并按照波長遞減的方式選取檢測脈沖星，避免了由于檢測點增長過快造成內(nèi)存不足的缺陷.

另外，利用模糊度函數(shù)法通常需要一個以上歷元的觀測數(shù)據(jù)，要對坐標估值域中的所有的空間格點進行運動學推算，計算耗時長.但是，這種方法卻不需要同時觀測3顆以上的脈沖星，可以在單位歷元內(nèi)僅觀測1顆脈沖星的相位數(shù)據(jù)，綜合多個歷元完成模糊度的解算，適用于裝配單X射線探測器的脈沖星導航系統(tǒng).

進一步的仿真計算表明，在這3種算法中添加1%的相位誤差，1′的脈沖星視方向偏差，以及5%的測量誤差對模糊度的求解均不能造成明顯的影響.這是因為脈沖星信號的波長很長，即使求解過程中對位置的估計有所偏差，也不會導致模糊度求解失敗.

4 結 論

裝有X射線脈沖星導航系統(tǒng)的航天器在絕大多數(shù)情況下，并不需要進行模糊度解算.但是當導航系統(tǒng)初始化、航天器迷失方位等極端情況發(fā)生時，仍然需要準確確定脈沖相位的模糊度參數(shù)，其解算方法可以采用單差搜索法、最小二乘搜索法和模糊度函數(shù)法.最小二乘搜索法在計算殘差、量測信息需求等方面明顯優(yōu)于單差搜索法，但是至少需要同時觀測4顆脈沖星才能確定模糊度估值域.模糊度函數(shù)法的計算量大、計算時間長，但可以通過狀態(tài)估計綜合處理多個歷元的觀測數(shù)據(jù)，解決了裝配單探測器的X射線脈沖星導航系統(tǒng)無法解算相位模糊度的難題.

下一步工作可以考慮用LAMBDA法、遺傳算法等先進的優(yōu)化方法解算脈沖相位的整周期模糊度，進一步減小模糊度解算方法的搜索空間，提高算法的搜索效率，并結合多普勒測速法，對星載時鐘存在鐘差等復雜情況進行分析研究.