利用函數單調性證明積分不等式

黃道增

（臺州學院，浙江 臺州 317000）

利用函數單調性證明積分不等式

黃道增

（臺州學院，浙江 臺州 317000）

積分不等式的證明方法多種多樣，本文主要利用被積函數的單調性和通過構造輔助函數的單調性證明積分不等式.

函數單調性；積分不等式；輔助函數

積分不等式是微積分學中一類重要的不等式，其證明方法多種多樣.如果題目條件中含“單調性”或隱含“單調性”的條件，利用函數單調性證明比較簡單.本文主要討論利用被積函數的單調性和通過構造輔助函數的單調性證明積分不等式.

1 利用被積函數的單調性

例1設f(x)為[0,1]上非負單調遞減函數，

證明 由f(x)的單調遞減性得：

若0＜x≤α＜1，有f(x)≥f(α)

由（1）（2）得：

2 利用輔助函數的單調性

證明方法根據——變微積分學基本定理和可導函數的一階導數符號與單調性關系定理：

可導函數的一階導數符號與函數單調性關系定理：設函數f(x)在[a,b]連續，在(a,b)內可導，如果在(a,b)內f'(x)≥0（或f'(x)≤0），那么f(x)在[a,b]上單調增加（或單調減少）.

證明的一般過程：

（1）構造輔助函數f(x)，取定閉區間[a,b]；

（2）求函數f(x)的導數f'(x)，再判別它的符號，利用可導函數的一階導數符號與函數單調關系，判斷函數的單調性；

（3）求函數在區間端點的函數值；

（4）根據第2步和第3步即可得證.

∵f(x)在[a,b]上連續，且單調增加，

∴g'(x)≥0

即g(x)在[a,b]上單調增加，

∵F(a)=0∴F(b)＞0

即F(x)≥0，x∈[0,1].

分析 可將此定積分不等式看成是數值不等式，并將常數1變為變數x，利用差式構造輔助函數.

∵0＜f'(t)＜1

∴f(t)在[0,1]上嚴格單調遞增.

∴f(t)＞f(0)=0

∴H'(t)≥0

∴對任意t∈[0,1]有H(t)≥H(0)=0，F'(t)＞0，t∈[0,1]

∴F(t)在[0,1]上嚴格單調遞增，F(l)＞F(0)=0

〔1〕華東師范大學數學系.數學分析(上)[M].北京:高等教育出版社,2001.

〔2〕張榮.輔助函數在不等式證明中的應用[J].數學的實踐與認識,2007(10).

〔3〕葉國菊，趙大方.數學分析學習與考研指導[M].北京:清華大學出版,2009.

〔4〕賈高.數學分析專題選講[M].上海:上海交通大學出版社, 2009.

O172.2

A

1673-260X（2010）09-0014-02