矩陣的秩與運算的關系

賈美娥

（赤峰學院 數學學院，內蒙古 赤峰 024000）

矩陣的秩與運算的關系

賈美娥

（赤峰學院 數學學院，內蒙古 赤峰 024000）

矩陣的秩是線性代數中一個重要的概念，本文主要討論矩陣運算后所得矩陣與原矩陣之間的關系.

矩陣；秩；可逆矩陣

定理1矩陣和的秩不超過兩個矩陣秩的和.即秩（A+B）≤秩A+秩B

證明

A的行空間V1=L（α1，α2，…，αm）其中αi=（ai1,ai2,ai3,…,ain）i=1，2，…n

（β1，β2，β3，…βm） βi=（bi1,bi2,bi3,…bin） i=1，2，…m

B的行空間

V2=L（β1，β2，β3，…βm） βi=（bi1,bi2,bi3,…bin） i=1，2，…m

∴A+B的行空間

V3=L（α1+β1，α2+β2，…αm+βm）

∵αi+βi∈V1+V2i=1，2，…m

∴V3?V1+V2∴dimV3≤dim（V1+V2）

又∵dim（V1+V2）≤dimV1dimV2

∴dimV3≤dimV1+dimV2，（A+B）≤秩A+秩B

推論 兩矩陣差的秩不小于兩矩陣秩的差.即：秩（A-B）≥秩A-秩B

證明 A=（A-B）+B

∴秩A≤秩（A-B）+秩B

∴秩（A-B）≥秩A-秩B

定理2矩陣A與數k的乘積kA的秩當k=0時，秩（kA）=0當k≠0時，秩（kA）=秩；矩陣A與其轉置矩陣A'的秩相同.

定理3矩陣乘積的秩不超過各因子的秩.即秩（AB）≤min{秩A，秩B}.

證明

B的行空間V1=L（β1，β2，β3，…βn） 其中βi=（bi1，bi2，bi3，…bis）

AB的行空間V1=L（γ1，γ2，γ3，…γm）γi=（αi1β1+αi2β2+αi3β3+…αinβn）

∵γi∈V1i=1，2，…m ∴V2?V1

∴dimV2≤dimV1∴秩（AB）≤秩B

同理有：秩（AB）≤秩A

∴秩（AB）≤min{秩A，秩B}

推論 數域F上m×n矩陣對于任一個m階可逆方陣P和n階可逆方陣

Q有秩A=秩（PA）=秩（AQ）=秩（PAQ）

證明 （1）秩（PA）≤秩A又A=P-1（PA）

∴秩A≤秩（PA） ∴秩A=秩（PA）

（2）秩（AQ）≤秩A，又A=（AQ）Q-1

∴秩A≤秩（AQ），∴秩A=秩（AQ）

由（1）和（2）得秩A=秩（PA）=秩（AQ）=秩（PAQ）

由相似矩陣和合同矩陣的定義我們又可以得出相似矩陣的秩相同，合同矩陣的秩相同.

例 證明：若A=r則A可表示為r個秩為1的矩陣的和，但不能表示為少于r個這種矩陣的和.

證明：秩C1≥秩C+r+s-m-n

∴秩c2≤n-s n-s是c2的列數

∴秩（C3C4）≤m-rm-r是（C3C4）的行數

∴秩C1≥秩C-C2-秩C（C3C4）≥秩C-（n-s）-（m-r）=秩C+r+s-m-n

定理4m×n矩陣A與n×s矩陣B的乘積AB的秩不小于A與B的秩的和減去n

即 秩（AB）≥秩A+秩B-n

由上面例題可知秩 秩C1≥秩c+r+p-n-c=r+p-n

又∵P1，Q2可逆

=秩C1≥r+p-n=秩A+秩B-n

推論 若兩個n階方程的乘積為零矩陣，則這兩個矩陣秩的和不超過n

例 已知n階方陣A的秩為m，求其伴隨矩陣A*的秩.

解 （1）若m≤n-1則A*=0∴秩A*=0

（2）若m=n-1∴|A|=0∴AA*=0

∴秩A+秩A*≤n ∴秩A*≤1

又∵m=n-1∴A*≠0∴秩A*≥1∴秩A*=1

（3）若 m=n |A|≠0AA*=|A|I

∴|A*|=|A|n-1≠0∴秩A*=n

例 A是n階冪等矩陣，即A2=A

求證：秩A+秩（A-I）=n.

證明 （1）秩A+秩（A-I）=秩A+秩（I-A）

≥秩（A+I-A）=秩I=n

（2） A（A-I）=A2-A=0∴秩A+秩（A-I）≤n

由（1）（2）得，秩A+（秩A-I）=n

例 已知A是n階矩陣，A且A2=1

求證：秩（A-I）+秩（A+I）=n

證明 （1）秩（A-I）+秩（A+I）+秩（I-A）+秩（A+I）≥秩（I-A+I-A）=秩（2I）=秩I=n

（2）∵（A-I）（A+I）=A2-I=0

∴秩（A-I）+秩（A+I）≤n

由（1）、（2）得：秩（A-I）+秩（A+I）=n.

O15

A

1673-260X（2010）09-0003-02