利用星座擴展降低OFDM PAPR的新方法

(蘭州大學 信息科學與工程學院，蘭州 730000)

1 引 言

正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)是一種典型的多載波調制技術，因其具有抗多徑衰落、抗脈沖干擾、頻譜利用率高等特點，目前已被廣泛應用于如IEEE802.11、IEEE802.16以及歐洲的地面數字視頻廣播標準DVB-T等[1]多種通信標準中。然而，OFDM有一個非常嚴重的缺陷——很高的峰均功率比(Peak-to-Average Power Ratio，PAPR)[2]。目前減小PAPR的方法主要有選擇性映射法、部分傳輸序列法、非線性壓擴變換法以及星座圖擴展法等[3-4]。其中，Y. J. Kou等人提出的星座圖擴展方案，可在增加少量發射功率的前提下有效降低PAPR[5]，而且不引入干擾，不需要發送附加信息。 本文針對該方案中搜索次最優映射向量的問題進行研究，提出了一種新的單步峰值最小算法，并將該算法一般化為聯合搜索算法。仿真結果表明，與文獻[5]的算法相比，本文的算法不僅能夠在更低的計算復雜度下獲得更高的PAPR抑制增益，而且可以根據實際需要來調整參數，以達到計算復雜度與PAPR之間的平衡，具有很強的應用靈活性。

2 OFDM中的PAPR問題

圖1 OFDM系統發射端的結構框圖Fig.1 Block diagram of OFDM transmitting terminal

如圖1所示，在OFDM系統中高速率的數據流經過串并轉換被分為N路低速數據流，其中的每個碼元映射為星座圖上的一個點，此時數據記為向量X=[X0,X1,X2，…,XN-1]T。經過IDFT(逆離散傅里葉變換)后N路數據被調制到相互正交的子載波上，得到時域的OFDM符號，記為向量x=[x0,x1,x2,…,xN-1]T，其中第n個元素可表示為

(1)

即x中的每一項都是N個頻域信號的線性疊加，所以有可能出現很高的峰值。如果峰值太大，超過數模轉換器允許的最大值或功率放大器的線性工作范圍，則會使發送信號產生畸變，影響接收端對信號的處理，最終導致系統整體性能下降。為了使問題一般化，人們通常用峰均功率比(PAPR)代替峰值來描述這一問題，其定義為

(2)

式中，E{·}表示求均值。

3 星座圖擴展技術

利用星座圖擴展來減小PAPR的基本思想是：增加碼元的星座映射方式，并根據實際發送碼元的組合形式來選擇具有較小PAPR值的映射方式。

(3)

在圖2(b)的映射關系下，假設在長度為N的數據中每種碼元出現的概率一樣，則其中有兩種映射方式的碼元個數為3N/4。這樣的話，可供選擇的映射方式有23N/4種。若N=64，則每次映射需要進行248≈2.8×1014次比較。因此，通過窮舉法求最優映射向量是不現實的。

(a)符合格雷碼映射的16QAM星座圖

(b)擴展后的星座圖

3.1 基于條件概率的貪婪算法

對上述問題，許多文章是利用基于條件概率的貪婪算法來求次最優解[5-6]。然而，由于條件概率的計算比較困難，不能直接求解。對于這種問題，數學上一般用去隨機化(De-Randomazition，DR)算法[6]來逼近。DR算法的迭代公式中有大量的雙曲正余弦計算(詳見文獻[5]中式(17))，復雜度仍然較高。為了進一步降低計算復雜度，Y. J. Kou等人利用多項式數值逼近來表示雙曲正余弦函數，簡化了迭代函數，我們稱之為PB(Polynomial Bound)算法(詳見文獻[5]中式(30))。然而，由于多次采用近似算法，DR和PB算法對PAPR的抑制效果也依次被降低。

3.2 單步峰值最小(SPM)算法

文獻[7]針對調整發送碼元符號位來降低PAPR的方法提出了一種快速有效的貪婪算法。這些符號位作為數據一同進行傳輸。我們將此算法的核心思想應用到基于星座圖映射的PAPR處理框架中，提出了單步峰值最小(Single-step Peak Minimization，SPM)算法。

IDFT(如式(1))是一個線性疊加的過程，我們可以將該過程分解開來看，若每一次只疊加一個調制后的碼元(碼元與子載波的乘積)，記第s(s=0,1,2，…，N-1)次疊加后時域向量為xs，則其第n個元素為

(4)

當s=N-1時，上式變為式(1)，即為IDFT運算。若已知xs-1，則有：

xs=xs-1+XsFs

(5)

式中，Xs為第s個頻域碼元，

Fs=[0,ej2πs/N,…,ej2πsn/N,…,ej2πs(N-1)/N]T。

假設第0個到第s-1個碼元的映射關系均已確定，要確定第s個碼元的映射方式，我們選擇使xs峰值最小的一種映射方式，即：

(6)

根據式(6)依次迭代即可求出所有碼元的映射方式，這就是SPM算法。此算法每次迭代時最多需要計算2次式(4)，而式(4)中復數乘法運算次數為N，所以要確定每個碼元的映射方式最多需要2N次復數乘法運算。

3.3 聯合搜索(JS)算法

我們將SPM算法進行擴展后提出了聯合搜索(Joint Searching，JS)算法。JS算法的主要思想是，每次聯合Jn個相鄰碼元進行搜索，這樣，每次可能的映射組合最多有2Jn種(因為有些碼元只有一種映射方式)，通過計算比較可同時確定Jn個碼元的映射方式。通過Tn=N/Jn次搜索即可確定N個碼元的映射方式(為便于說明，本文只討論N是Jn的整數倍的情況，而非整數倍的情況類似)。

將IDFT過程分解為Tn次疊加，每次疊加Jn個碼元，記第s次疊加后時域向量為xs(s=0,1,2，…，Jn-1)，則其第n個元素為

(7)

當s=Tn-1時，上式變為式(1)，完成IDFT運算。若已知xs-1，則：

(8)

式中，Xk為第k個頻域碼元，

Fk=[0,ej2πkN,…,ej2πkn/N,…,ej2πk(N-1)/N]T。

假設已知前面0到s-1次疊加時碼元(即前面第0個到第sJn-1碼元)的映射方式，將第s次疊加時Jn個碼元(第sJn到第(s+1)Jn-1個碼元)的映射方式記為向量Is=[isJn,isJn+1,…，i(s+1)Jn-1]，則我們在所有可能的Is中選擇使xs峰值最小的一種做為該組Jn個碼元的映射方式，即:

(9)

根據上式依次迭代則可求出所有碼元的映射方式。

該方法中，每次迭代最多需要計算2Jn次式(8)，而每次迭代可確定Jn個碼元映射方式，所以平均每個碼元需要計算式(8)的最多次數為2Jn/Jn。又因式(8)中有JnN次復數乘法運算，所以每個碼元所需要的最多復數乘法次數為

C=2Jn/Jn×JnN=2JnN

(10)

4 仿真及應用分析

仿真采用互補累積分布函數(CCDF)來衡量系統的PAPR分布。仿真系統參數如下：OFDM符號長度N=64，過采樣因子為4，符號個數為5 000。

圖3比較了經典16QAM星座映射和擴展星座映射(分別用PB、DR和SPM算法實現)的CCDF曲線圖。可以看出，擴展星座圖后的3種方法都抑制了PAPR，其中SPM算法效果最好，DR算法次之，PB算法最差。圖4是聯合因子取不同值時JS算法的對比圖，結果表明，隨著聯合因子的逐漸增大，JS算法對PAPR的抑制作用也越來越強。

為了更客觀分析JS算法特性，表1給出了各種方法的性能比較。表中的PAPR抑制增益是指：在各仿真圖中，縱坐標(CCDF)等于0.001時，16QAM與各種方法的對應橫坐標(PAPR0)之差。而計算復雜度則用每種方法的實際仿真時間與SPM算法(即Jn=1時的JS算法)仿真時間的比值來表示，即歸一化的仿真時間。隨著Jn的增大，JS算法的計算復雜度逐級增長，這也驗證了公式(10)的結論。因此，JS算法是在計算復雜度和PAPR抑制增益之間取了折衷，而且我們可以通過修改Jn來調節兩者之間的平衡。

圖3 SPM 算法與DR和PB算法的比較Fig.3 Performance comparison among SPM, DR and PB algorithm

圖4 Jn取不同值時JS算法的比較Fig.4 Performance comparison of JS algorithm with different value of Jn

表1 各種算法性能比較Table 1 Performance comparison of above algorithm

上述仿真系統中的基本參數符合實際情況，如IEEE802.16標準。仿真結果顯示，JS算法在復雜度低于PB算法的情況下，仍然將抑制增益提高了2.7 dB(在Jn=1時)。目前，由于OFDM的高PAPR問題，上行鏈路中一般采用SC-FDM(單載波頻分復用)系統，而不用OFDM系統。我們提出的JS算法會使利用星座擴展的OFDM系統應用于上行鏈路更加可行。星座擴展的方法會使系統發射功率增加，所以在實際應用中還應考慮發射功率方面的可行性。另外，JS算法是針對星座擴展后如何選擇映射方式而提出的，并不受限于星座圖類型的選擇，對于星座擴展類的方法具有普適性。

5 結束語

PAPR問題是OFDM系統面臨的主要問題之一，利用星座圖擴展減小OFDM的PAPR是一類重要方法。本文針對此類方法，提出了一種新的尋找次最優映射向量的解決方案，即聯合搜索(JS)算法。研究表明，該算法給出一種解決OFDM在上行鏈路中應用的新思路，具有一定的實用價值。為了進一步改進該算法，在本文工作基礎上還可從以下方面進行研究：

(1)如果能夠給出計算復雜度和PAPR之間的定量關系，則可大大減化實際系統的優化設計；

(2)目前的星座圖擴展方法并未考慮導頻的特點，在實際系統中導頻的映射不能利用擴展后的星座圖，而只能用原始星座圖。因此，在考慮導頻的情況下研究本文算法的性能有很重要的實際意義。

參考文獻：

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[2] Bahai A R S, Saltzberg B R. Multi-carrier Digital Communications: Theory and Application of OFDM[M].New York:Mc-Graw-Hill, 1999.

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