多級維納濾波測向算法的參考信號優化方法

李 堰,2，宋愛民，劉 劍

(1.空軍工程大學 電訊工程學院，西安 710077；2.解放軍95482部隊，成都 610081)

1 引 言

測向(Direction-finding)作為陣列信號處理的一個重要的研究方向，廣泛應用于雷達、通信、聲納、地震、射電天文以及生物醫學工程等眾多軍事和國民經濟領域[1-2]。傳統MUSIC算法測向需求樣本協方差矩陣并進行特征分解，運算量約為O(m2n+m3)，其中m是陣列的陣元個數，n是采樣快拍數。如果增加陣元數，運算量會急劇增加。為降低運算量，將多級維納濾波(MSWF)[3-6]引入到MUSIC算法中，利用它的正交分解特性來快速估計噪聲子空間。

在MSWF技術中，其參考信號的取值對算法很關鍵，本文對參考信號為第一個陣元接收數據和m個陣元接收數據平均值時的兩種常用取值情況進行分析，針對這類以陣元數據為參考信號取值的結構，提出一個以任意多個陣元的數據平均值為取值的參考信號取值公式，并對其進行分析，找出此類參考信號結構的最佳取值，使優化后的算法比其它此類結構取值算法在判斷信源數估計值和均方根誤差方面有更好的性能。

2 陣列信號模型及參數

參照文獻[1,2]中陣列信號模型，建立模型如圖1所示。設有p個窄帶遠場信號si(k)(i=1，2,3,…，p)，天線陣列為m個全向同增益均勻線陣，陣元間距為d=λ/2。k為第k次快拍，λ為信號波長，φi為信號入射角度。

圖1 等距線陣與遠場信號si(k)Fig.1 Equispaced linear array and far-field signal si(k)

信號矢量為s(k)=[s1(k),s2(k),…,sp(k)]T，噪聲矢量為e(k)=[e1(k),e2(k),…,ep(k)]T，相鄰兩陣元間相位差ωi=2πdsinφi/λ，方向向量為a(ωi)=[e0,e-jωi,…,e-j(m-1)ωi]T，方向矩陣為A(ω)=[a(ω1),a(ω2),…,a(ωp)]。

由以上式子得陣元接收信號為

A(ω)s(k)+e(k)

(1)

3 多級維納濾波算法

3.1 多級維納濾波降維的基本原理

Goldstein等人提出了一種有效的降維技術，即多級維納濾波器(Multistage Wiener Filter,MSWF)技術[3-6]，可以利用MSWF的多級分解特性來實現信號子空間和噪聲子空間的快速估計。

圖2 D=2時的維納濾波器正交投影分解Fig.2 Orthogonal projection decomposition of Wiener filter for D=2

3.2 基于多級維納濾波的MUSIC算法

本文利用多級維納濾波的D階分解，利用的子空間[8-9]求出信號來向，其具體步驟如下：

第一步：初始化參考信號d0(k)和陣列接收數據xo(k)；

第二步：求互相關矢量hi(i=1，2，3,…，D)：

(2)

(3)

xi(k)=xi-1(k)-hidi(k)

(4)

第三步：由式(2)求得hi估計子空間H、信號子空間S和噪聲子空間G(求G時D=m)：

H=spanh1,h2,…,hD

(5)

S=[h1,h2,h3,…,hp]

(6)

G=[hp+1,hp+2,…,hm]

(7)

第四步：利用譜峰搜索公式求信號來向[1,2]。

P(φ)=1/aH(φ)GGHa(φ)

(8)

式(8)是譜峰搜索的噪聲子空間方法。

將GGH=I-SSH[2]代入得：

P(φ)=1/aH(φ)(I-SSH)a(φ)

(9)

式(9)是譜峰搜索的信號子空間方法。式(8)、式(9)解出空間譜函數的極大值對應的φ就是信號來向。由于實際應用中參考信號不可避免的引入噪聲，信號矢量不再和噪聲矢量正交，匹配濾波器中加入了噪聲的特征矢量，而信號特征矢量則泄漏到噪聲子空間，因此p級的維納濾波器不足以表示所有的信號矢量[10]。故在式(6)、式(7)中使用信號源數估計值代替p進行計算。

4 參考信號的優化處理

由于對所獲取信號的信息利用程度不同，選擇不同的參考信號d0會導致不同的性能，對算法性能影響很大，其取值就顯得非常關鍵。對參考信號取值為第一個陣元接收數據和m個陣元接收數據平均值時的兩種常用取值情況進行分析，針對這類以陣元數據為參考信號取值的結構，提出一個以任意多個陣元的數據平均值為取值的參考信號取值公式：

(10)

式中，1≤q≤m。式(2)中q=1時，d0為第一個陣元接收到的數據[8,9,11]；q=m時，d0為m個陣元接收到的數據的平均值[8,12]。

相應地，式(10)中的q行平均也對應于A(ω)前q行數據的平均：

其實部和虛部隨著q值的增加在(-1,1)區間來回振蕩，從而對算法的性能也產生了影響，驗證了仿真圖中隨著q值變化，算法的RMSE值曲線亦出現振蕩變化，即在一定條件下，參考信號公式中q取特定的值能使算法達到最好性能。

在本文仿真條件下，取值公式在q=m-3時的參考信號取值使算法性能最好。

5 仿真及性能分析

信號源數估計值的大小直接影響了多級維納濾波中信號子空間和噪聲子空間的判斷[8,11]，故針對多種條件下可能的信號源估計值做均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)性能仿真。

仿真所采用的陣列是各向同性的等距線陣，陣元間距為λ/2，運行次數為1 000次，對信號入射角度為-5°的信號進行角度估計，即φ=-5°。采用不同參考信號的程序進行比較，如式(2)所示，各程序q分別取值為1、2、3、…、m。

5.1 對信號源數估計值性能的比較分析

根據可能的信號源估計值計算出RMSE大小，對多種條件下RMSE性能最佳時的信號源估計值進行仿真。

如圖3所示，圖3(a)給出了信號源數估計值與信噪比的關系，其中陣元數為6，快拍數為200，信號入射角度為-5°和5°；圖3(b)給出了信號源數估計值與快拍數的關系，其中信噪比為10 dB，陣元數為6，信號入射角度為-5°和5°；圖3(c)給出了信號源數估計值與陣元數的關系，其中信噪比為10 dB，快拍數為200，信號入射角度為-5°和5°；圖3(d)給出了信號源數估計值與角度間隔的關系，其中信噪比為10 dB，陣元數為6，快拍數為200，信號入射角度為-5°和隨角度間隔變化的角度。

從仿真中可以看出：圖3(a)中擁有不同q值參考信號的程序的信號源數估計值隨信噪比增加估計值逐步精確，趨向于預設值2，但隨q值的變化，各程序的變化趨勢沒有規律性；圖3(b)中不同q值的信號源數估計值除在q=5時的程序取值為3外，其它q值取值的程序的信號源數估計值均未產生過估計，且所有程序信號源估計值不隨快拍數變化而變化；圖3(c)中，除在q=5時的程序外，q值取其它值的程序的信號源數估計值隨著陣元數的增加，其值也增加為3，產生過估計；圖3(d)中隨著不同程序隨著q值的增加，信號源數估計值越來越多取值為2，過估計程度逐漸減輕。

(a)與信噪比關系

(b)與快拍數關系

(c)與陣元數關系

(d)與信號間隔角度關系圖3 信號源數估計值Fig.3 The estimated number of signals

5.2 對均方根誤差性能的仿真及分析

采用圖3中最佳RMSE性能時的信號源數估計值仿真，從而避免了信號源數估計值的錯誤估計給均方根誤差帶來的影響。RMSE定義為

如圖4所示，圖4(a)給出了均方根誤差與信噪比的關系，其中陣元數為6，快拍數為200，信號入射角度為-5°和5°；圖4(b)給出了均方根誤差與快拍數的關系，其中信噪比為10 dB，陣元數為6，信號入射角度為-5°和5°；圖4(c)給出了均方根誤差與陣元數的關系，其中信噪比為10 dB，快拍數為200，信號入射角度為-5°和5°；圖4(d)給出了均方根誤差與角度間隔的關系，其中信噪比為10 dB，陣元數為6，快拍數為200，信號入射角度為-5°和隨角度間隔變化的角度。

從仿真中可以看出：隨著q值變化，算法的RMSE值曲線在一定范圍內來回振蕩。圖4(a)中除SNR=15的大信噪比外，性能最好的算法其q值均為3，即q=m-3時程序RMSE最小，且各程序RMSE值隨信噪比的增加而降低，q=m時的程序性能相對其它程序較差；圖4(b)中不論快拍數取何值，性能最好的算法其q值為3，即q=m-3時程序RMSE最小，且除q=m外的各程序RMSE值隨快拍數的增加而降低，q=m時的程序RMSE曲線較差；圖4(c)中隨著陣元數的變化，其性能最好的程序始終為q=m-3，且各程序RMSE值隨陣元數的增加而降低，在此圖中還可以看出q=m時的程序RMSE性能較差，與圖4中其它幾個仿真圖q=m時的程序性能較差相互證實；圖4(d)中RMSE最小的程序并不唯一，圖4中由于其它仿真的角度間隔均固定為10°，而圖4(d)中10°仿真的結果為q=m-3時RMSE最小，驗證了該情況下被優化參考信號的性能最佳，從中還可以看出，隨著信號間隔角度增加，除q=m外的各程序RMSE值比較穩定，因為仿真所觀測的信號角度并沒有發生變化，且q=m時的程序在信號角度間隔為10°和70°的時候較差，選取其它兩個信號角度間隔的時候程序性能較好，這也與圖4中其它幾個仿真在信號角度間隔為10°時取值較差相互印證。

(a)與信噪比關系

(b)與快拍數關系

(c)與陣元數關系

(d)與信號間隔角度關系圖4 均方根誤差Fig.4 Root mean square error

6 結 論

本文對多級維納濾波測向算法的參考信號取值進行了分析和研究，根據其結構提出參考信號取值公式，在本文仿真條件下按公式取得最佳參考信號取值，使得算法達到最好的性能，對于提高測向算法的精度具有重要意義。通過對不同取值引起的不同算法性能進行了仿真比較，證明了該方法的可行性。

從理論上對參考信號進行分析，發現方向矩陣的取值對本文參考信號的取值有很大影響，使得在一定條件下，參考信號按本文的公式取特定的值能使算法達到最好性能。本文的下一步工作是著手研究參考信號的取值與最佳算法性能的規律性，從理論上推導出它們之間的關系。

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