分數階傅里葉變換的多項式相位信號DOA估計

(重慶郵電大學 信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶 400065)

1 引 言

多項式相位信號(Polynomial Phase Signal，PPS)是信號處理領域中一個具有重要意義的非平穩寬帶信號，在通信、雷達、電子對抗、生物醫學、聲納、語音等領域有廣泛應用。目前，國內外學者大多是針對PPS的相位系數估計進行研究，而對PPS的波達方向(DOA)估計方面的研究甚少。在現代電子通信領域中，精確估計PPS的DOA，實現超分辨測向顯得非常重要。線性調頻信號(LFM，又稱chirp)是PPS的一個特例。當前，LFM信號DOA估計經典的方法有MUSIC、ESPRIT算法等，后來對MUSIC算法提出了一系列改進算法，如求根MUSIC算法[1]、循環MUSIC算法、時頻MUSIC算法等，但這些算法都是針對窄帶LFM信號的。對于寬帶LFM信號，國內學者陶然、齊林等對分數階Fourier變換(FRFT)的寬帶LFM的DOA估計[2]進行了深入研究，并取得了較好的效果；鄭州大學的張艷紅提出了基于分數階Fourier變換的寬帶LFM信號DOA估計[3]，但是針對大于二階的多項式相位信號，相關的研究卻很少。

2 線性調頻信號的陣列模型

陣列模型為M個陣元的均勻線陣(ULA)，陣元間距為d，如圖1所示。假設有一LFM信號s(t)，入射角為θ。如果把第一個陣元作為參考陣元，則第i個陣元上的觀測信號可以表示為

xi(t)=st-τi+nit，i=1，2，3,…，M

(1)

其中：

τi=i-1dsinθ/c

(2)

st=Aej2πf0t+πKt2+φ

(3)

式中，f0、K和φ分別為LFM信號的初始頻率、調頻斜率和初始相位，ni(t)為第i個陣元相互獨立且與信號無關的高斯白噪聲，τi是信號s(t)在第i個陣元相對于第一個陣元的延時，c為光速。

圖1 均勻線陣結構示意圖Fig.1 The ULA and array model

3 FRFT的DOA估計

3.1 多項式相位變換實現對PPS的降階

我們考慮多項式相位采樣信號模型為

x(n)=s(n)+w(n)=

(4)

式中，0≤n≤N-1，N為采樣點數，Δ為采樣間隔，am(m=1,2,3,…,M)為PPS的相位系數，M和b0分別為PPS的階數和幅度，w(n)為均值為零、方差為σ2的高斯白噪聲。對于上式的信號模型，τ為延時參數，假設τ和M為正整數。

PPS的一個重要性質就是通過高階瞬態距(HIM)計算，可得如下信號形式[4]：

(5)

其中：

(6)

φ=(M-1)！(τΔ)M-1aM-1-

0.5(M-1)M！(τΔ)MaM

(7)

M階多項式相位變換定義為DPM[s(n),τ]的離散時間傅氏變換，對一個振幅恒定的M階PPS應用M階算子DPM將該信號變換成單個正弦信號，且其頻率w0與最高次項系數aM有關。

(8)

3.2 FRFT實現對LFM信號陣列的窄帶化處理

信號x(t)的FRFT定義為[6]

(9)

式中，FRFT的變換核Kp(t,u)為

(10)

式中，n為整數，α稱為旋轉角度，且α=pπ/2，p為FRFT的階數，Fp·為FRFT的算子符號，δt為單位沖激函數。

信號xt的FRFT是線性變換，它和Wigner-Ville分布(簡稱WVD)的關系可解釋為時頻平面的旋轉算子，這一特性決定了FRFT特別適合于處理LFM類信號。如圖2所示，與該斜直線相垂直的分數階Fourier域(FRF域)上求信號的FRFT，則在該域的某點將出現明顯的峰值。而噪聲的能量均勻地分布在整個時頻平面內，在任何的FRF域上均不會出現能量聚集。因此，FRFT在某個FRF域中對給定的LFM信號具有最好的能量聚集[6]。

圖2 LFM信號的時頻分布及其在FRF域上的投影Fig.2 LFM signal in the time-frequency distribution and projection of FRF domain

對信號st進行p階FRFT，在α,u平面上，運用分級計算迭代搜索方法對spu進行峰值點的二維搜索，即確定分數階的搜索范圍a,b，確定初始步長Δp1=0.1，估計出分數階的初始值為p1;再進行二次搜索范圍p1-0.1,p1+0.1，確定初始步長Δp2=0.01，估計出分數階的初始值為p2;再進行三次搜索范圍p2-0.01,p2+0.01，確定初始步長Δp3=0.001，直至達到所要求的精度。得到峰值點的位置αq和um，則可得信號的調頻斜率和初始頻率估計[6]:

(11)

也就是說，當旋轉角度α=-arccotK時，spu有最佳的能量聚集。

(12)

式中，i=1,2,3,…,M。

Ap=1，e-j2πτ2u1msinα，…，e-j2πτMu1msinαT

(13)

因此，可得到天線陣列的觀測信號在FRF域矢量表達式:

Xp=Apsp+Np

(14)

其中：

(15)

(16)

3.3 求根MUSIC算法實現對信號DOA估計

式(14)中的矢量表達式的協方差矩陣為

(17)

式中，Rps和Rpn分別為信號和噪聲協方差矩陣。對上式協方差矩陣進行特征分解，可得λ1>λ2>,…,λQ>λQ+1=λQ+2=…,λm，其中，Q為信號源個數，則信號子空間是由大特征值對應的特征矢量組成的空間，而噪聲子空間是由小特征值對應的特征矢量組成的空間。

首先定義如下一個多項式[7]

(18)

式中，ei是數據協方差矩陣中小特征值對應的M-Q個特征矢量，pz=1,z,…,zM-1T。

由以上的定義可知：當z=ejw，即多項式的根正好位于單位圓上時，p(ejw)是一個空間頻率為w的導向矢量。由特征結構類算法可知，p(ejw)=p(z)就是信號的導向矢量，所以其與噪聲子空間是正交的。因此，多項式可定義為

(19)

因為多項式fz的階數為2M-1，所以有M-1對根，且每對根是相互共軛的關系。在這M-1對根中有Q個根z1,z2,…,zQ正好分布在單位圓上，即：

zi=expjwi，1≤i≤Q

(20)

上式考慮的是數據協方差矩陣精確可知時的情況，在實際應用中也就是數據矩陣存在誤差時，只需求式(19)的Q個接近于單位圓上的根即可。也就是對于等距均勻線陣，根據方向導向矢量Ap可知波達方向

(21)

由以上分析，可總結PPS波達方向估計的算法流程:

(1)初始化，令m=M和xmn=xn，其中，0≤n≤N-1;

(3)令

(22)

其中，0≤n≤N-1;

(4)替換m=m-1，直到m=2為止;

(5)對信號xmn進行P階的FRFT;

(6)在相應的分數階Fourier域，進行峰值搜索，根據旋轉角度α不變和式(12),可確定峰值點的位置;

(7)由式(13)、(14)、(15)確定信號在FRF域所對應的方向向量;

(8)利用求根MUSIC算法進行DOA估計，估計最終信號的波達方向。

4 仿真實驗

4.1 實驗一

設信號模型為

xn=sn+wn=

b0expja1n+a2n2+a3n3+wn

(23)

式中，0≤n≤N-1，a1=0.125,a2=0.25/N,a3=0.65/N2，采樣點N=360，延時τ=N/3，離散FFT時變換的長度為120×100點。

圖3給出了本文PPS分別在沒有噪聲和SNR=20 dB時，瞬態矩后的信號實部幅值特性圖。從圖中可以看出，經過瞬態矩后，沒有噪聲時，信號為正弦信號;當SNR=20 dB時，信號為正弦信號和新的噪聲。圖4給出了SNR=20 dB時，經過多項式相位變換的譜線分析，從中可以得到該信號的頻率，也就是可以得到三階PPS的最高階相位系數a3。圖5給出了均方誤差(MSE) 隨信噪比(SNR)變化的曲線圖，從圖中可以看出，三階PPS在SNR≥6 dB時，該方法的估計性能接近克拉美羅界(CRB)，而隨著信噪比的降低，仿真結果與理論結果產生較大偏差。

圖3 三階PPS的瞬態矩Fig.3 Instantaneous moment of the third order PPS

圖4 SNR=20 dB時的多項式相位變換譜線圖Fig.4 Spectrum of polynomial phase transform when SNR=20 dB

圖5 a3估計值均方誤差和CRB隨信噪比變化圖Fig.5 MSE and CRB of a3 versus SNR

4.2 實驗二

在實驗一的基礎上，結合本文提出算法中的第三步降階的思想，設和實驗一有相同的參數，且入射角θ=70°，快拍數為τ。

圖6給出了SNR=10 dB時，PPS按本文提出的思想降階后的FRFT。從圖中可以看出，該信號具有很好的能量聚集性，從而把寬帶的PPS轉化為FRF域窄帶信號。在相應的FRF域，用MUSIC算法，對信號進行波達方向估計，如圖7所示，從圖中可以看出，能較為準確地估計信號的波達方向。圖8給出了陣元數分別為10和6時，多項式相位變換結合FRFT的求根MUSIC算法的DOA估計均方誤差隨信噪比變化的曲線圖，從圖中可以看出，均方誤差隨SNR的減小而增加，在SNR>7 dB時，能較為準確地估計PPS的DOA，同時，在SNR相同時，陣元數為10比陣元數為6的估計性能要稍好些。

圖6 PPS降階后分數階Fourier域的信號Fig.6 PPS of order lowered in FRF domain

圖7 基于FRFT的PPS的DOA估計Fig.7 DOA estimation of PPS based on FRFT

圖8 陣元不同時DOA估計隨SNR的變化圖Fig.8 DOA estimation of different sensors versus SNR

5 結 論

本文提出了一種多項式相位信號波達方向估計的方法，目前有關PPS的DOA估計的文獻很少，所以本文為以后在這方面的深入研究打下了一定的基礎。由于運用了多項式相位變換降階，在SNR≥7 dB時能很好地估計出單分量PPS的DOA，但估計多分量的PPS的DOA問題還有待解決。同時，利用分級計算迭代搜索方法對FRF域的峰值點進行二維搜索，計算量大大減小，所以該算法簡單。

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