關于正六邊形旋轉對稱群的研究

董鴻飛

（赤峰學院物理與電子信息工程系，內蒙古赤峰024000）

關于正六邊形旋轉對稱群的研究

董鴻飛

（赤峰學院物理與電子信息工程系，內蒙古赤峰024000）

本文簡要描述了正六邊形旋轉對稱群——D6群,通過對正六邊形的旋轉運動的分析，得到正六邊形的旋轉對稱群的群表，并對正六邊形旋轉對稱群的性質進行了分析，列出D6群的特征表.

群；群元；群表；特征標

1 引言

盡管物理學中有許多復雜的細節,但仍然存在著很多優美之處及簡單性,這多是來源于物理系統的對稱性.對稱性在物理學中起著重要的作用.對稱的概念和變換密切聯系在一起.所謂系統的對稱性是指它對某種變化保持不變的性質.保持系統不變的變換越多，系統的對稱性就越高.群的概念出現于十九世紀初,早期只是一種物理學家研究對稱性十分有效的數學工具,但很快有物理學家發現了它在物理學中有著很多用處.1890年Federov和1891年Schoenflies相繼用群論方法系統地解決了晶體分類問題,總結出230種空間群.空間群理論自建立以來,在解釋晶體結構、對晶體進行分類、幫助人們加深對哈密頓方程解的理解、簡化哈密頓本征方程的求解等方面,起到巨大的作用.

2 正六邊形旋轉對稱群的構造

本文只簡單討論正六邊形的旋轉對稱群：

圖1

正六邊形有6個頂點,6條邊,如圖1所示正六邊形ABCDEF.聯結對邊的中心，得到線段ad,be,cf.對于正六邊形ABCDEF分別以其3條對角線AD,BE,CF為軸，規定順時針方向為旋轉正方向，用ma,mb，mc表示繞三個軸正向轉動π的變換.

以正六邊形的3對對邊的中心連線ad,be,cf為旋轉軸,用md,me，mf表示繞軸正向轉動π的變換.

以垂直于正六邊形的平面且過正六邊形中心的直線為旋轉軸Z，用C6，C62，C63，C64，C65表示繞Z軸轉動π/3,2π/3, π,4π/3,5π/3的轉動.

以上述12個元素為群元建立的群，為正六邊形的旋轉對稱群，命名為D6群.

3 正六邊形的旋轉對稱群群表

正六邊形的12個群元，分別為C6，C62，C63，C64，C65、ma、mb、mc、md、me、Mf.則正六邊形的旋轉對稱群群表如表1：

4 正六邊形旋轉對稱群的性質

D6群為正六邊形旋轉對稱群,有12個群元,所以D6群是12階群.這12個群元可以分六類,分別是

5 正六邊形旋轉對稱群表示的構造

點的坐標的變換，變換前的坐標記作（x,y）,變換后的坐標記作(x',y'),他們都用列矩陣表示，而變換元素表為2×2矩陣

表1

對每一個變換，把變換前后正六邊形的頂點坐標代入①式，就可定出群元素對應的矩陣形式.

例如：變換ma把B點變換到F點，把C點變換到E點，于是有等式：

6 正六邊形旋轉對稱群的特征標表

D6群有12個群元，有六個自逆類，由12+12+12+12+22+22=12知，它有四個一維、兩個二維不等價不可約的自共軛表示.得到D6群的特征標表如下：

E2C62C62C633C'63C"6A1111111 A21111-1-1 B11-11-11-1 B21-11-1-11 E121-1-200 E22-1-1200

〔1〕馬中騏.物理學中的群論（第二版）.科學出版社，2006.

〔2〕A·W·約什.物理學中的群論基礎.科學出版社，1986.

〔3〕陳金全.群表示論的新途徑.上海科學技術出版社，1984.

〔4〕俞文海.晶體結構的對稱群.中國科學技術大學出版社，1991.

O711

A

1673-260X（2010）11-0010-02