一類彈簧復合振子系統行波解的運動復雜性

劉潔，胡艷霞，張洪光

（1.華北電力大學數理學院，北京102206；2.赤峰學院數學學院，內蒙古赤峰024000）

一類彈簧復合振子系統行波解的運動復雜性

劉潔1，胡艷霞1，張洪光2

（1.華北電力大學數理學院，北京102206；2.赤峰學院數學學院，內蒙古赤峰024000）

本文研究了一類彈簧復合振子系統行波解的運動復雜性，借助Melnikov函數方法討論了該系統產生smale馬蹄意義下混沌的可能性及成因，并結合順行平面Hamilton周期-能量關系和KAM理論，給出受擾系統固有周期運動的理論解釋.文中結論可為研究彈簧復合振子在機械裝置中的應用提供一定的理論依據.

彈簧復合振子；混沌；Melnikov函數；KAM理論

近些年來迅速發展起來的混沌理論[1，2]等非線性系統理論，為解決復雜的非線性問題帶來了希望.文獻[3]研究了具有兩種不同阻尼的線性彈簧振子運動情況，通過分析和數值計算方法求解其運動規律，得到了傳統的采取空氣阻力與速度的關系是線性關系在某些情況下是不符合實際的.文獻[4]研究了一類非線性系統——彈簧擺耦合振蕩器系統的動態，得到了該系統會發生分叉運動.

本文對一個典型的非線性系統——彈簧復合振子系統做了一定的理論分析，展示了彈簧復合振子系統行波解的運動復雜特性.首先建立了這類彈簧復合振子的運動微分方程，然后運用Melnikov函數方法[5]對該系統行波解發生混沌現象進行解析.也嘗試結合KAM理論[6，7]和順行平面Hamilton系統的周期-能量關系[8]對該系統的準周期運動狀態及穩定性進行了理論證明.

1 數學模型和運動微分方程

我們考慮只作扭曲運動的水平彈簧上個吊著N振子的運動，振子在垂直于彈簧的水平面內轉動，由角動量定理，則第i個振子的運動方程[9]，I，其中I為振子的轉動慣量，φ為振子偏離平衡位置的夾角，K為彈簧的扭曲常數，F是重力產生的恢復力.設第i個振子受到一個很小的外力作用，致使方程右端還有一項-εcoswt，其中w為外力振動頻率.則第i個振子的運動方程為

圖1 水平彈簧上吊著N個振子

圖2 時系統（6）的相圖

假設相鄰兩振子的距離是△x，則（1）可以寫成

當λ>0，在(u,v)相平面上，系統（6）有平衡點(2kπ,0)，(±π+2kπ,0)，這里k為整數.由于平衡點的分布具有周期性，我們可以在一個周期內考慮，-π≤u≤π.該系統有三個平衡點A-(-π,0)O(0,0)，A+(π,0)，由微分方程定性理論[10]可以判斷判定，A-和A+是鞍點，而O是中心，系統在平衡位置附近的相圖如圖2所示.當h=0時，系統退化為中心O，當0

3 受擾系統的動力特性分析

考慮c2>1，即λ>0（6）的動力特性.由前面知道，在ε=0時，系統有異宿軌線，其附近的結構不穩定，受擾后在系統的鞍點附近容易發生Smale意義下的混沌現象.下面用Melnikov函數方法討論異宿軌附近結構的受擾特性.

定理1當c2>1時，系統（5）在鞍點附近的Poincare映射有一系列的橫截異宿點，因此也就具有Smale意義下的馬蹄混沌.

下面我們借助非線性KAM理論，對中心閉軌線的受擾特性及穩定狀態進行理論界定和分析.

應用KAM理論需滿足：未擾系統閉軌線的周期解析依賴于軌道；中心奇點附近Poincare映射為扭轉映射兩個必要條件.引入文[8]的相關結論記為引理1.

引理1假設一個Hamilton系統的Hamilton函數滿足下面四個條件：（i）H(u,v)在(u,v)某區域內解析;（ii）(u0,v0)為系統的中心奇點；（iii）堝某正數h*，對任何h∈(0,h*)，對應軌道Γh:H(u,v)=h均為包含在區域內圍繞中心奇點(u0,v0)的閉軌；(iv)(u,v)≠ (u0,v0)時，成立，則區間h∈(0,h*)的閉軌周期Th關于h解析依賴.

引理2當c2>1時，系統（6）的閉軌Γh的周期Th關于h解析依賴.

證明對系統（6），顯然在區間h∈(0,2λ)內，閉軌Γh滿足引理1的（i）～（iii），下面證明滿足(iv).因

從而閉軌的周期Th關于h∈(0,2λ)解析依賴.

在c2>1的情況下，為研究系統（6）的中心(0,0)附近的映射Poincare映射.引入作用量-角動量坐標(I,φ),令軌道h=H(I)，則軌道沿閉軌Γh的運動頻率表達為∧(I)=dH/dI=2π/T(h)，

從而得到頻率的變化率為

定理2當c2>1時,有∧'(I)≠0.

證明由文[8]閉軌周期對能量導數的顯式關系

令f(u)=sinu-ucosu，u∈(-π,0)U(π,0)，有f'(u) =usinu，故f(u)在定義域內為增函數，且f(0)=0，所以當u∈(-π,0)，f(u)0，所以T'(h)≠0，從而由（7）式得∧'(I)≠0.

定理3對任意小的ε>0，若∧'(I)≠0，即Poincare映射為扭轉映射，則擾動系統（6）的Poincare映射有一族具有正Lebesgue測度μ(ε)的不變軌線，并且當ε→0有.這些不變閉曲線周圍充滿稠密的無理軌道.

4 結論

本文考慮了一類彈性復合振子系統行波解的運動復雜性.通過上面分析，得到在c2>1的情況下系統在鞍點附近會發生Smale意義下的馬蹄混沌現象，即此時系統的行波解的運動是無序的；系統在中心附近發生準周期運動，即非擾動系統的大量閉軌幾乎都保留了下來，此時系統的行波解幾乎做周期運動.文中結論可以為研究一類彈簧復合振子在機械裝置中的應用提供一定的理論依據.

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1673-260X（2010）11-0003-03

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