氣軌阻力與速度關系的研究

賀卓然

(北京大學物理學院,北京100871)

氣軌阻力與速度關系的研究

賀卓然

(北京大學物理學院,北京100871)

在氣軌上測量了微小阻力和速度的關系.通過振動能準靜態衰減的假設建模,并利用一種改進的線性擬合方法做數值微分,最終在3臺氣軌上得出了一致的經驗規律:

氣軌;阻力;速度

1 引 言

氣軌是低阻力裝置,在大學物理實驗中應用廣泛.因而研究氣軌阻力與速度的關系對分析和修正氣軌上的動力學實驗的誤差具有重要意義.但由于氣軌上的阻力很小,滑塊即使長距離地單程滑行,其速度也沒有明顯改變.這么小且與速度有關的力,測量起來絕非易事.本文采用滑塊在氣軌上做阻尼振動的實驗[1-4]來完成測量,去掉先驗假設f(v)∝v后,得到了新的結果.

2 實驗原理

滑塊在氣軌上的運動方程為

雖然f(v)的表達式未知,但Weierstrass證明過定理[5]:任何一個閉區間上的連續函數,都可以用足夠高次的多項式一致逼近.因此可以把f(v)在實驗數據范圍[0,vmax]內近似寫成N次多項式pN(v).理論上只要N足夠大,用pN(v)近似f(v)就可以足夠精確.于是有然而,若直接把f(v)代入(1)式,所得微分方程將高度非線性,解析解近乎不可能.但由于阻力f (v)很小,可以采用振動能準靜態衰減的近似,即1個周期之內,滑塊的運動仍近似滿足無阻尼時的x=Asinωt,v=v0cosωt,其中v0是滑塊過平衡位置的速度,易用光電門測得.于是從平衡位置出發,經過1個周期之后,振動能改變量為

其中B為Beta函數.這里假設了能量衰減幾乎完全由氣軌阻力引起,而忽略了諸如彈簧發熱等其他因素引起的能量損失.這樣方程(1)中的f才代表要研究的氣軌阻力.

由于阻力f很小,振動能衰減緩慢,可以用微分近似代替差分,將衰減過程連續化,得

其中

不過,在實驗中N并非越大越好,因為測量總有隨機誤差,太大的N導致曲線pN(v)劇烈抖動.而實測曲線本身比較光滑,故本文中取N=3,且后面擬合時零截距的假設α0=β0= 0也得到了實測數據的支持.

3 實驗及結果

3.1 Hooke定律的驗證

前面假設了沒有阻力時滑塊做簡諧振動x= Asinωt.這是Hooke定律的結果.但實際使用的彈簧是否滿足Hooke定律,則有待實驗檢驗.

圖1 驗證Hooke定律

在氣軌的邊緣固定摩擦盡可能小的定滑輪.用細線一端拉住彈簧振子,另一端繞過定滑輪拉住砝碼盤的掛鉤.在盤中放入不同質量m的砝碼,用氣軌上的標尺讀出最大靜摩擦允許的最大平衡范圍[x1,x2],記錄實驗數據并計算其中心位置x=(x1+x2)/2如表1所示.

表1 Hooke定律的驗證

從表1看出,當砝碼B質量增加時,滑輪軸承處的最大靜摩擦fmax增大,滑塊A的平衡范圍[x1,x2]越來越寬,但只要彈簧彈力F=F(x)在小范圍[x1,x2]內近似線性,則在[x1,x2]的中點x=(x1+x2)/2處恰好有摩擦為0,F=mg.故要驗證Hooke定律,只需驗證x是否與砝碼總質量m成線性關系即可.作圖并擬合發現x與m的線性相關程度高達r =0.999 9,說明實驗所用彈簧在很大的振幅范圍內仍高精度地滿足Hooke定律.交換k1和k2的位置,重復上述實驗,線性關系依然成立.

3.2 氣軌啟動前的測量

U擋光片一、三擋光邊距離δl=10.30 mm;滑塊與擋光片總質量m1=449.43 g;兩彈簧總質量m2=22.37 g;振子等效質量[1]m=m1+m2/3 =456.89 g.

從后面的實驗步驟不難看出,本部分的測量結果不影響f(v)曲線的形狀,而只改變其標度.

3.3 氣軌上的測量

1)光電門定位于氣軌上滑塊的平衡位置.

2)在彈簧的彈性限度內,盡可能大地拉開滑塊后釋放.待滑塊振動幾個周期穩定后,開始采集數據.在滑塊振幅衰減的不同階段,重復如下過程若干次.

設滑塊上U型擋光片連續5次“左→右”通過平衡位置的10個擋光時刻為:t11,t12,t21,t22,…,t51,t52.規定t11=0,記錄ti1和δti=ti2-ti1于表2中.表2共記錄了8組數據.

0ii斜率dv0/dt,作為處的導數(詳見第5部分討論).

用所得回歸直線方程給出t時刻對應的速度值,作為v0.于是完成表3.

圖2 實測數據點的多項式擬合

表2 氣軌阻力-速度關系測量數據

表3 計算結果

求出各項系數βi后,不難算出各αi值.于是有f(v)≈p3(v)=(4.95v+6.33v2-1.62v3)× 10-3N,其中v的單位為m/s.這樣就得到了f(v)在實驗數據范圍0～1.8 m/s的3次多項式逼近結果p3(v).

4 結果分析

在0～1.8 m/s范圍內,p3(v)曲線與f(v)近似重合.于是作p3(v)的圖像(如圖3所示).由圖可知,氣軌阻力速度關系f(v)確實不像Stokes公式描寫的正比關系那么簡單.當v較小時, f(v)表現出明顯的向上彎曲.當v較大時曲線卻比較直.在另外2臺氣軌上重復實驗,也得到了這種向上彎曲且前彎后直的f(v)曲線.

如果能定量描述這一由曲變直的規律,就可能得到f(v)的經驗公式.根據p3(v)曲線,筆者猜測f(v)可以寫成如下形式:

其中冪指數γ可能不是整數.在這個參數模型下,重復第2節中的推導不難得到

雙對數擬合常常在數據小的一端誤差大,從圖4已經可見一斑.為得到更可靠的γ值,筆者放棄了取對數,而直接采用非線性最小二乘擬合,得γ=1.29,f(v)=9.59v1.289×10-3N,發現在0～1.8 m/s范圍內,f(v)(圖3中的點)確實與p3(v)幾乎完全重合.這一定程度上驗證了前面猜測的f(v)模型.在另2臺氣軌測得γ=1.27和γ=1.33,故3臺氣軌所得γ平均值為1.30. 3個冪指數十分接近,進一步肯定了經驗規律的可靠性.

圖4 實測數據點的雙對數擬合

5 討 論

本實驗的數據處理涉及到微分的計算.為了減小誤差,本文采用了把數據點(xi,yi)的線性擬合的斜率歸結為的導數的方法.下面介紹此方法的依據.

設實驗中密集測量了若干個數據點(xi,yi).它們分布于1條未知的光滑曲線y=f(x)附近.

在足夠小的區間[x0,x0+δ]內,曲線y= f(x)近似為直線.對區間內的點用線性擬合,得出斜率的最佳無偏估計

考慮曲線在區間[x0,x0+δ]內的微彎曲,將f(x)在x0處泰勒展開到二階,有yi=a+bxi+

令

則這表明在只考慮到二階泰勒項的精度下,線性擬合的斜率^b是xp處導數f′(xp)的無偏估計.

用文獻[6]中的統計理論可以證明,即使對測量數據點做二次擬合y=a+bx+cx2,xp點處的導數b+2cxp的不確定度也是最小的,且其值等于線性擬合的結果.因此完全不必做二次擬合,它起不到改進結果的作用.

6 結束語

本文去掉f(v)∝v的假定后,通過基于振動能準靜態衰減假設的一系列合理的近似,成功處理了一個非線性系統的實驗測量問題.在數據處理過程中,本文通過Weierstrass的多項式逼近手段,并采用一種改進的線性擬合方法做數值微分,在尚未對f(v)建立任何先驗的參數模型的情況下,便得出了與最終結果十分接近的f(v)曲線.最后根據曲線,筆者猜出了一個與實測數據高度吻合的參數模型并在3臺氣軌上得到了一致的冪指數γ≈1.30.

感謝北京大學物理學院實驗中心的各位老師提供的支持與幫助.

[1] 呂斯驊,段家忯.新編基礎物理實驗[M].北京:高等教育出版社,2006:113-116.

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[6] 王松桂,陳敏,陳立萍.線性統計模型:線性回歸與方差分析[M].北京:高等教育出版社,1990:34.

Relationship between resistance and velocity on air track

HE Zhuo-ran
(School of Physics,Peking University,Beijing 100871,China)

A method to determine the relationship between resistance and velocity on an air track is designed.By using approximations based on the assumption of quasi-static oscillation energy loss and an improved linear regressive method for numerical differentiation,an empirical law is obtained:,whereγ≈1.30.

air track;resistance;velocity

O311.1

A

1005-4642(2010)12-0039-04

[責任編輯:郭 偉]

2010-03-03;修改日期:2010-05-15

賀卓然(1990-),男,湖北武漢人,北京大學物理學院2008級本科生.