2010年高考理科試題對高中統計與概率教學的啟示

胡成龍

（遵義市第二中學，貴州遵義563000）

2010年高考理科試題對高中統計與概率教學的啟示

胡成龍

（遵義市第二中學，貴州遵義563000）

通過對2010年全國及各省（市、區）高考理科統計與概率試題的統計分析，得出今后高中統計與概率教學應當以分層抽樣、頻率分布直方圖、古典概型、互斥事件、獨立事件、Bernoulli概型、離散型隨機變量的分布列及其數字特征和正態分布等為教學重點，使學生體會用樣本估計總體，注意聯系生產和生活實踐，重視獨立性檢驗的結論。

高考；數學；統計與概率；教學啟示

今年秋季，貴州及全國絕大多數省（市、區）將使用《普通高中數學課程標準（實驗）》（簡稱《新課標》,以下同）教材，使得高中數學新課程的教學成為廣大高中數學教師共同關注的問題，研究《新課標》教材成為高中數學教學研究的熱點。近年來，盡管有許多關于《新課標》統計與概率的教學研究文章，但都或是從《新課標》的內容設計[2，3]，或從新課程理念，或以教學內容的認識[5，6]來論述教學方法或策略。從全國所有地區高考試題統計分析來研究統計與概率的教學還未見文獻。本文通過2010年全國所有高考理科統計與概率試題的簡要分析，結合《新課標》要求，對統計與概率的教學提出個人見解，希望與同行交流。

1 2010全國高考理科統計與概率試題統計分析

2.1 2010命題情況統計（見表1）

2.2 命題分析

2.2.1 主要知識點與分值

2010年高考理科數學試卷分以現行教學大綱為準的“大綱卷”和以《新課標》為準的“新課標卷”。對表1進行統計，2010年高考理科統計與概率以全國卷為代表的“大綱卷”試題都以古典概型、獨立事件、互斥事件、Bernoulli概型和離散型隨機變量的分布列的構造及數學期望為主要知識點。有不少地區（北京、陜西、遼寧、湖北、湖南、江西、江蘇、廣東）的命題考查了分層抽樣、頻率分布直方圖，與“新課標卷”類似。分值在17分左右。

2.2.2 主要能力要求

對表1的能力考查分析統計，大多數試題的主要能力要求為：理解分層抽樣的原理，掌握頻率分布直方圖的構造，能根據頻率分布直方圖計算樣本容量與各部分樣本數，從而計算某個事件的概率；掌握古典概型、互斥事件、獨立事件、Bernoulli概型等概率的計算；掌握離散型隨機變量的分布列的構造及數學期望的計算方法；能將概率知識與思想用于生產生活實踐。

表1 2010高考理科統計與概率試題統計表

試 卷 題號 題型 分值 考查的主要知識點 主要能力要求選擇3 5對立事件、獨立事件遼寧卷18解答12古典概型、分層抽樣、頻率分布直方圖的構造、頻率分布中位數15填空5安徽卷21解答13浙江卷19解答14互斥的事件、古典概型、條件概率、全概率公式。獨立事件、離散型隨機變量的分布列。離散型隨機變量的分布列及數學期望、二項分布。13填空4對立事件、獨立事件乘積的概率福建卷16解答13 7選擇5一元二次不等式的解集、樣本空間、離散型隨機變量的分布列及數學期望正態分布廣東卷17解答12分層抽樣、頻率分布直方圖、古典概型山東卷5 6 2選擇選擇解答5 5 1 0 3 4 2填空正態分布樣本方差為互斥事件和的概率、樣本空間、離散型隨機變量的分布列及數學期望古典概型知識頻率分布直方圖江蘇卷 填空附加必作2 5 5 1獨立事件；離散型隨機變量的分布列及數學期望。上海卷 填空填空新課標卷寧夏吉林海南2 6 9 6 1 9選擇解答0 4 4 5 1 2離散型隨機變量的分布列及數學期望。古典概型；互斥事件及其和的概率。Bernoulli概型；離散型隨機變量的分布列及數學期望。分層抽樣、獨立性檢驗。掌握對立事件、獨立事件乘積的概率計算。掌握分層抽樣方法，理解頻率分布直方圖的構造，能從分層抽樣頻率分布直方圖計算樣本中包含各部分的個體數方法；運用概率知識、獨立性檢驗解決實際問題的能力（與新課標類似）。理解完備事件組和條件概率的基本概念，掌握全概率公式。掌握離散型隨機變量的分布列的構造方法；在復雜情況下進行分析計數、將概率思想在實際生活中的應用的能力。掌握離散型隨機變量的分布列及數學期望的計算、能根據實際情況分析選擇正確的概率計算方法。掌握獨立事件乘積的概率計算方法；能根據具體情形分析選擇方法，將概率思想在實際生活中的應用的能力。理解樣本空間、事件所包含的樣本的意義；掌握離散型隨機變量的分布列的構造及數學期望的計算。理解正態分布圖象的對稱性，能根據圖象計算概率。掌握古典概型的概率計算方法；理解分層抽樣方法，頻率分布直方圖的構造，能從分層抽樣頻率分布直方圖計算樣本中包含各部分的個體數方法；運用概率知識解決實際問題的能力。理解正態分布圖象的對稱性，能根據圖象計算概率。能計算樣本方差理解樣本空間、事件所包含的樣本的意義；掌握互斥事件和的概率的計算方法和離散型隨機變量的分布列的構造及數學期望的計算。會根據實際情況計算古典概型的概率。理解頻率分布直方圖的構造，能從分層抽樣頻率分布直方圖計算樣本中包含各部分的個體數方法。掌握獨立事件乘積的概率計算方法；離散掌握型隨機變量的分布列的構造及數學期望的計算；運用概率知識解決實際問題的能力。掌握離散型隨機變量的分布列的構造及數學期望的計算。掌握古典概型、互斥事件及其和的概率計算方法。掌握Bernoulli概型的計算方法、離散型隨機變量的分布列構造及數學期望的計算。運用概率知識、獨立性檢驗解決實際問題的能力。

2.2.3 差異比較

從表1可以看出，雖然大多數地區所考查的主要知識點與能力要求基本一致，但也有部分省（市、區）的命題涉及其他不同的知識點，如湖北考了系統抽樣、陜西和湖南考了幾何概型、天津考了莖葉圖、廣東和山東考了正態分布、山東考了樣本方差。

3 對《新課標》教材教學的幾點啟示

研究高考并非是研究應試。實際上高考命題是服從于教學大綱或課程標準的，命題內容很大程度上反映了教學大綱或課程標準的教學要求，引導對內容的教學認識。根據上述分析，可以對高中數學統計與概率的教學以下的啟示。

3.1 教學重點內容

從上述命題分析可以看出，高中《新課標》教材統計與概率教學的重點內容有“等可能性事件的概率、互斥事件的概率、獨立事件的概率、n次獨立重復試驗中恰好（或至少、或至多）發生k次的概率等常見的概率的計算；離散型隨機變量的分布列、期望、方差、標準差的計算；正態分布、分層抽樣、頻率分布直方圖，線性回歸分析”等。

3.2 注意使學生體會用樣本估計總體的思想

以數據進行推斷的思考方法已成為現代社會普遍應用而且高效的思維模式，以樣本推斷總體是統計學最核心的思想方法。樣本頻率分布直方圖不僅可以根據原始數據估計總體分布，而且在沒有原始數據而僅有頻率分布的情況下，也可以估計總體的分布特征。

教科書按照《新標準》的要求，主要介紹有關頻率分布的列表和畫圖的方法。

在2010年高考試題中，北京、陜西、遼寧等8個省（市、區）將樣本頻率分布直方圖作為重要部分，并且前幾年也有不少地區的試題涉及該內容。

因此，在教學中應當注意使學生掌握樣本頻率分布的列表和畫直方圖的方法，體會用樣本估計總體的思想。

3.3 隨機變量及其分布是重要基礎

隨機變量能夠反映隨機現象的共性，離散型隨機變量的分布列能夠全面的描述離散型隨機變量的統計規律，離散型隨機變量的分布列也是學生今后進一步學習研究連續型隨機變量的基礎。二項分布和超幾何分布是兩個應用非常廣泛的概率模型。根據中心極限定理，當隨機變量是大量獨立的偶然因素作用之和，則它服從或近似地服從正態分布，所以，在日常生活（如人體身高、體重）與生產實踐中，正態分布是統計學中是常用的統計模型。

教科書按照《新標準》的要求，在介紹事件的獨立性、條件概率的基礎上，以獨立重復實驗與二項分布作為研究離散型隨機變量的分布列重要模型，進一步研究離散型隨機變量的數字特征（均值與方差），再由二項分布的直方圖的極限圖形引入正態分布。

2010年高考試題中，所有試卷都考了互斥事件、獨立事件、Bernoulli概型和離散型隨機變量的分布列的構造及數學期望。廣東和山東考了正態分布，山東還考了樣本方差。

所以，隨機變量及其分布是高考的重要基礎，將每年都出現在高考命題中。

3.4 重視獨立性檢驗的應用

假設檢驗是統計學的一個常用的重要方法，而獨立性檢驗是假設檢驗的一種特例。教科書按照《新標準》的要求，通過典型案例介紹了獨立性檢驗的基本思想、方法以及簡單應用。

在2010年的高考試題中，遼寧卷和新課標卷都考查了獨立性檢驗的應用。由于全國高考命題對教學有很強的指導作用，因此，新課標卷對新課標教材的實施具有引領作用。

所以，在今后的教學中應當重視獨立性檢驗的應用。

3.5 教學應注意聯系生產和生活實踐

2010年高考統計與概率的全部試題都以聯系生產、生活實踐來設計。如：全國Ⅰ卷以某雜志對稿件的評審為背景；全國Ⅱ卷以電流能否通過各元件為背景；北京卷、陜西卷以學生身高為背景；四川卷以有獎購物為背景；湖南卷以城市居民用水量為背景；遼寧卷以藥物實驗為背景；安徽卷以酒師的酒味鑒別功能為背景；福建卷、山東卷以知識競賽為背景；廣東卷以食品檢驗為背景；江蘇卷以產品質量與利潤為背景；新課標卷以某地區老年人是否需要志愿者幫助為背景。

統計與概率的教學主要目的是使學生體會統計與概率的基本思想,處理數據、制定決策，培養學生“用數據說話”的理性思維。

所以，統計與概率教學應重視問題的背景及統計與概率在生產和生活實踐以及科學領域中的應用。

4 結束語

上述對《新課標》教材教學的幾點啟示，僅為筆者在分析2010年高考理科試題的基礎上得到的見解，以期與廣大同行交流。本文未對古典概型、幾何概型和線性回歸分析進行討論，尚待深入研究。事實上，要真正適應《新課標》教材統計與概率教學的需要，還應當深入分析文科試題，在此基礎上，認真研究《新課標》和兩本教科書[7，8]，并從教師教學用書中領會教材編寫意圖，結合本地學生實際研究教學策略。

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]鐘志華.對高中新課程中概率教學的認識[J].數學教育學報,2006,15(1):82-85.

[3]黃中杰.由“概率統計”談對高中新課程標準的認識[J].科技信息,2008，（3）:27.

[4]張丹.新課程理念下的統計與概率教學 [J].數學通報,2005,44(1):12-14.

[5]鄭簫.新課標下高中數學概率教學的實施建議[J].數學教學,2009,（6）:113.

[6]王吉強.高中《概率與統計》教學的幾點建議[J].數學教學通訊,2004,（8）:18-19.

[7]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書數學3（必修）[M].北京：人民教育出版社，2004.

[8]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書選修2-3[M].北京：人民教育出版社，2004.

[9]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書選修2-3A版教師教學用書（第二版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

（責任編輯：朱 彬）

Implication for the Teaching of Senior High School’s Statistics and Probability through 2010 College Entrance Matriculation in Science

HU Cheng-long
(No.2 Middle School of Zunyi,Zunyi 563000,China)

After analyzing the questions of the statistics and probability from 2010 national and provincial(civic,regional)college entrance matriculations in science,the author draws the conclusion that the teaching of statistics and probability in senior high school should focus on stratified samplings,frequency distribution histogram,classical probability,exclusive event,independent event,Bernoulli scheme,distribution column and digital features of discrete random variable and normal distribution,which can make students learn to use samples to evaluate entirety,to pay attention to the connection between production and living practice and to value the application of independent inspection.

college entrance matriculation;mathematics;statistics and probability;teaching inspiration

G633.6

A

1009-3583（2010）-05-0111-05

2010-06-24

胡成龍，男，江蘇江陰人，遵義市第二中學數學教師。