加工中心龍門磁懸浮高度的滑模控制*

王麗梅 安明偉 劉春芳

（沈陽工業大學電氣工程學院，遼寧沈陽 110023）

加工中心龍門磁懸浮高度的滑模控制*

王麗梅 安明偉 劉春芳

（沈陽工業大學電氣工程學院，遼寧沈陽 110023）

針對龍門加工中心中的移動橫梁，提出了采用磁懸浮技術，實現無摩擦驅動的新型控制方案。根據所建立的橫梁磁懸浮系統的數學模型，應用基于微分幾何的反饋線性化方法將非線性的電磁懸浮系統轉化為線性系統，然后利用積分滑模控制器來對整個系統進行魯棒控制。仿真研究結果表明，與傳統控制方法相比，系統具有很強的抗擾性和較高的剛度，橫梁能夠實現無摩擦穩定懸浮。

磁懸浮系統;非線性控制;反饋線性化;滑模變結構

隨著現代控制理論和電子技術的發展，對磁懸浮技術的研究已經進入了一個新的時代。磁懸浮列車和磁懸浮平臺等技術都已成功應用磁懸浮原理，而將磁懸浮技術應用于加工中心的研究還很少。在傳統的龍門移動式加工中心中，移動部件和靜止導軌之間存在著摩擦，限制了機床精度的提高。由于高精度加工技術的發展，應用磁懸浮技術以電磁鐵和靜止導軌之間產生的吸力為基礎將龍門加工中心的橫梁懸浮在靜止導軌上方，同時采用永磁直線電動機進行推進驅動即能夠實現高精度定位，如圖1所示。

本文采用反饋線性化的方法對模型進行線性簡化，建立的模型是以電壓作為輸入控制量的三階系統。反饋線性化是一種全局線性化方法，它不受平衡點選取的制約，在線性化過程中沒有忽略掉任何非線性項，可以保證系統的全局穩定。機床的懸浮橫梁在實際運行中，要受到或弱或強的外界干擾的影響，且由于所建模型的不確定性，控制對象參數選擇的誤差以及測量誤差等也都將對系統形成干擾。針對這個問題設計了積分滑模控制器，抑制各種干擾。滑模變結構控制的最大優點是系統一旦進入滑模區，系統狀態就不再受到參數變化和外界擾動的影響，具有完全的自適應性和魯棒性。而且控制器中存在積分環節，可以用來消除穩態誤差，提高整個控制系統的精度。

1 單電磁懸浮系統模型及線性化方法

1.1 數學模型

龍門移動式橫梁兩端垂直同步懸浮，除了要求懸浮的高剛度以外，還要保證懸浮的同步性、穩定性和精確性。這里只對單電磁懸浮系統給予控制，保證懸浮的精確度和穩定性。電磁鐵結構如圖2所示，上端為導軌，下面是電磁鐵繞有通電線圈。

假設系統忽略漏磁通，忽略電磁鐵和導軌中的電阻，認為磁勢均勻降在氣隙上，并且認為電磁鐵只在垂直方向上有運動。單電磁鐵的數學模型為

式中，δ（t）為懸浮間隙;F（i，δ）為電磁吸力;m為懸浮橫梁的質量，fd（t）為干擾;i（t）為控制線圈的電流;u（t）為控制線圈兩端的電壓;μ0=4π×10－7為真空磁導率;A為鐵心面積;N為電磁鐵繞組匝數。

1.2 反饋線性化方法

選取x=［x1x2x3］=［δ˙δi］T作為狀態變量并設k=μ0N2A/4，選擇輸出y=δ=x1，可得系統的非線性狀態空間方程為

那么非線性狀態空間方程（4）可以寫為

選取反饋規律：u=α（x）+β（x）v

設線性狀態變量為z=［z1z2z3］，則得到線性化后的狀態變量與原系統的狀態變量之間的轉換關系：

電壓控制模型主要是將原系統模型轉化成為三階線性系統，大大的簡化了系統模型。電壓控制模型是通過控制電壓來實現對磁懸浮力的控制。圖3表示線性化后的系統開環結構圖。

2 積分滑模控制器的設計

滑模變結構響應快，對系統參數和外部干擾呈不變性，可保證系統是漸進穩定的。尤其算法簡單，易于工程實現。其缺點是存在抖動和需知不確定參數的上下界等問題。

滑模變結構控制可分為兩個階段：首先是確保系統運動在有限時間內從任意初態到達滑模面;其次是系統在控制律的作用下保持滑模運動。滑模控制器的設計分為兩步：選擇切換函數并確定其系數，使滑動模態漸進穩定且有良好的品質;確定變結構控制律，滿足到達條件，形成滑動模態區。由此，切換函數和變結構控制率兩部分組成了滑模變結構控制的核心。

首先設計切換函數，根據系統所期望的動態特性來設計切換面，使得所設計的控制器有良好的控制性能，以便在非滑模區的系統狀態能夠快速穩定地到達滑模面。切換函數的設計有很多種，本文中采用了極點配置法。

假設參考懸浮系統實際輸出的懸浮氣隙為y，期望輸出的懸浮氣隙為yd。定義懸浮位置誤差為e，且

其中，c0、c1和c2為滑模面系數，是三個正常數，表示各項在控制器中的權重。

當系統進行滑模運動時，滿足：

veq稱為等效控制，能夠保證滑動模態存在，即它是強迫系統沿切換面運動所需的控制力。

將式（10）代入式（13），得到：

當系統存在外部擾動或不確定性時，等效控制不能實現系統的魯棒性，需要加入切換控制vs。為了實現滑模運動，要求系統必須滿足能達條件：s˙s≤0。

用李亞普諾夫法進行驗證。構建李亞普諾夫函數：

此函數是半正定的，要求其導數˙V=s˙s≤0，便可以滿足能達條件。選取指數趨近率：

其中ε和λ是正常數。

符號函數定義為

則將式（17）代入V的導數˙V=－s［εsgn（s）+λs］≤0中，滿足到達條件。

根據式（13）和（17）相等，得出：

其中，vs= －εsgn（s）－λs。

等效控制與切換控制共同組成了滑模變結構控制的控制率，滑模變結構控制率由兩部分組成veq和vs。

3 仿真

為了實現機床高加工精度的目標，將橫梁懸浮起來，要求所設計的滑模控制器能夠使橫梁穩定地懸浮在2 mm處，并在有擾動影響的情況下具有很強的魯棒性。根據上面所設計的控制器，利用MATLAB/Simulink進行仿真。系統參數見表1。

表1 系統參數

在仿真過程中，系統的穩定性和滑模面及控制率中的參數有密切的關系，要選取適當的k和ε，才能達到較好的控制效果。圖4是滑模面和滑模運動的曲線圖。當k=40，ε=5時，滑模面s=0以及系統到達滑模面和在面上的運動曲線。

當系統加入脈沖擾動時，輸出響應如圖5所示。在0.3 s時加入擾動后，懸浮氣隙和懸浮位置誤差產生振蕩，在0.1 s內又恢復穩定，具有很強的魯棒性。

圖6是將積分滑模控制與傳統的狀態反饋控制方法進行了比較。圖6a為懸浮氣隙的輸出，從圖中可以看到，積分滑模控制器的快速性比傳統控制器要好，超調小，精度高，擾動引起的振蕩小，調節時間短。而傳統控制器雖然能夠消除擾動對系統產生的影響，振蕩后也可以恢復到給定值，但是振蕩時間要長。圖6b是控制電流的輸出曲線，同樣在0.25 s時加入的脈沖擾動使得電流產生了很大的振蕩。

滑模變結構控制可保證系統穩定，是一種魯棒性強，穩定性好，超調小，響應速度快的控制方法。滑模控制對被控對象的數學模型不作精確的要求，在一定的范圍內參數的攝動不會給系統帶來影響，并能有效地抑制外加干擾。

4 結語

本文在龍門移動式加工中心中引入了磁懸浮技術，徹底消除了摩擦，并采用了基于反饋線性化的滑模變結構控制方法對磁懸浮系統進行控制，懸浮橫梁可以平穩地上浮，且在較短時間內達到平衡。與傳統的狀態反饋方法相比，無超調，響應速度快且能夠有效地抑制干擾。系統的參數變化以及添加的外部擾動對輸出的影響不大，即系統具有較強的魯棒性。

1 楊霞，李強，郭慶鼎.基于數控機床進給用磁懸浮直線電機摩擦的消除［J］.組合機床與自動化加工技術，2005（7）：41～42

2 Jinunshian Phuah，Jianming Lu.Chattering Free Sliding Mode Control in Magnetic Levitation System［J］.IEEJ Trans EIS，2005，125（4）：600－605

3 王麗梅，石佳.基于反饋線性化的龍門數控機床磁懸浮系統滑模魯棒控制［J］.機床與液壓，2008，36（5）：254～256

4 王軍闖.NC機床磁懸浮進給機構研究［D］：［學位論文］.大連：大連交通大學.2006.

5 龍志強，洪華杰，周曉兵.磁懸浮列車的非線性控制問題研究［J］.控制理論與應用，2003，20（3）：399～402

6 ChoiK B，ChoY G，Shin shiT.Stabilization of one degree－of－freedom control type levitation table with permanent magnet repulsive forces［J］.Mechatronics，2003，13（6）：587－603

7 LIU DE － sheng，LI Jie，ZHANG Kun，The Design of the Nonlinear Suspension Controller for EMS Maglev Train Based on Feedback Linearization［J］.Journal of National University of De Fense Technology，2005，27（2）：96 －101

8 Jinunshian Phuah，Jianming Lu.Chattering Free Sliding Mode Control in Magnetic Levitation System［J］.IEEJ Trans.EIS，2005，125（4）：600 －605

聯系作者：劉春芳，女，1975年生，副教授，博士，研究方向：伺服系統、魯棒控制及計算機仿真。

（編輯 余 捷）

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Sliding Mode Control of Magnetic Levitation Used in Gantry Machine Tool

WANG Limei，AN Mingwei，LIU Chunfang
（School of Electrical Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110023，CHN）

This paper adopts magnetic levitation technology for the moving crossbeam of the gantry NC machine tool in order to achieve non－friction control.Based on the mathematical model of the maglev system，the nonlinear model can be transferred into linear model by using feedback linearization method.Then the robustness of the entire system is implemented according to the integral sliding mode controller.The results of simulation show the system has powerful ability of suppressing disturbance and high rigidity which is superior to the traditional control method.The crossbeam can achieve steady levitation.

Magnetic Levitation System;Nonlinear Control;Feedback Linearization;Sliding Mode Variable Structure Control

TP273

A

* 國家自然科學基金項目（50805098）

2009―06―08）

10215