基于第二代小波的增強邊緣的圖像去噪

林祥云，馬俊，趙慧娟

基于第二代小波的增強邊緣的圖像去噪

林祥云，馬俊*，趙慧娟

（武漢科技學院 理學院，湖北 武漢 430073）

傳統的一些去噪技術往往是以犧牲圖像的邊緣和細節為代價的。為了去掉圖像的噪聲,同時又能夠很好地保留圖像的邊緣和紋理細節，在介紹第二代小波變換的原理的基礎上，提出使用邊緣檢測的方法檢測出圖像的邊緣和紋理細節，將它和該圖像進行融合，用第二代小波對含噪圖像進行分解, 對圖像高頻進行自適應去噪。由于圖像在去噪前融合了邊緣信息,因此邊緣和細節部分得到了增強。仿真結果表明：該去噪方法優于傳統小波閾值去噪方法。

第二代小波變換；邊緣增強；圖像去噪

1 引言

隨著小波理論的日益完善，它以自身良好的時頻特性在圖像降噪領域受到越來越多的關注，但在實際應用過程中，傳統小波變換存在計算量大、存儲空間消耗大以及浮點計算的缺點[1]。為此，1994年Sweldens提出了一種不依賴于傅立葉變換的新的小波構造方法——提升方法，基于提升方法的小波變換稱為第二代小波變換（Second Generation Wavelet）[2,3]。提升方法可以不依賴傅立葉變換而直接在空域完成計算、原位計算(不需要額外存儲空間) 、易實現整數到整數的變換以及計算量更小的特點[4]，成為小波研究與應用領域的新熱點。

傳統的小波去噪方法雖然將去噪的技術引入到頻域，并且在去噪的過程中一定程度上保留了大的高頻系數，但是那些偏小的邊緣和紋理的小波系數還是被縮減甚至去掉了，因此無法很好地保持邊緣和細節。

本文利用第二代小波變換特性，尋求一種既能夠去掉圖像的噪聲，同時又能夠保留圖像的邊緣和紋理細節的方法。為了達到這個目的，考慮到在去噪之前首先用邊緣檢測的方法檢測出含噪圖像的邊緣和紋理細節，將它和含噪圖像以一定的比例進行融合，再用第二代小波變換對融合后的圖像進行分解, 對圖像高頻進行自適應去噪處理，最后將閾值化后的小波系數重構，得到去噪后的圖像。

2 第二代小波變換原理

提升方法給出了雙正交小波簡單而有效的構造方法，使用了基本的多項式插補來獲取信號的高頻分量，之后通過構建尺度函數來獲取信號的低頻分量。提升方法的基本思想是,將現有的小波濾波器分解成基本的構造模塊,分步驟完成小波變換。1998年, Daubechies 和Sweldens 證明了任何離散小波都可以用提升方案[5]來實現，提升方法把小波變換過程分為以下3 個階段[6,7]。

①分裂。將輸入信號sj, 分裂成為兩個互不相交的子集sj?1和dj?1，常用的算法是將輸入信號按奇偶分成兩個子集，

②預測。針對數據間的相關性，可用sj?1的預測值 p( sj?1)去預測奇數序列dj?1，即將濾波器p對偶信號作用以后作為奇信號的預測值，奇信號的的實際值與預測值相減得到殘差信號。若用子集dj?1與預測值 p( sj?1)的差值去代替dj?1，則此差值反映了兩者的逼近程度。如果預測是合理的，則差值數據集所包含的信息比原始子集dj?1包含的信息要少得多。預測過程的表達式:

③更新。由于分解成子集，原來集合的一些特征丟失，通過更新使子集的數據和原來集合的數據保持相同的特征。也就是通過算子U 產生一個更好的子數據集sj?1，使之保持原數據集sj,的一些特性。sj?1的表達式:

小波提升是一個完全可逆的過程，重構數據時的提升公式與分解公式相同，改變計算次序和符號就可以了。

其中Merge是合并的意思，是將分裂后的子集sj?1和 dj?1重構成初始信號sj。

3 基于第二代小波的圖像去噪

3.1 去噪模型建立

假設T( i, j)為含噪的圖像，可以表示成一個M× N的矩陣：

式中F( i, j)原圖像，e( i, j)為平穩的零均值白噪聲。

3.2 增強邊緣信息

去噪和邊緣細節的保留是圖像去噪存在的兩個問題。去噪的目的是消除噪聲尤其是那些存在于高頻的噪聲，但是圖像的細節也處于信號的高頻部分。傳統的去噪技術如wiener 濾波等時域濾波的去噪都是以犧牲圖像的邊緣和細節為代價的[8]，為了在去噪的同時較好的保留圖像邊緣信息,本文在去噪前對圖像做了邊緣增強工作。

函數的導數反映圖像灰度變化的顯著程度，一階導數的局部極大值和二階導數的過零點都是圖像灰度變化極大地方。因此可將這些導數值作為相應點的邊界強度，通過設置門限的方法，提取邊緣。

Soberts算子是一種利用局部差分算子尋找邊緣的算子，它對灰度漸變和噪聲較多的圖像處理較好[13]。

利用soberts邊緣檢測算子，檢測出含噪圖像的邊緣G( i, j)，并對G( i, j)和含噪圖像T( i, j)作小波變換，得到它們的小波變換系數 Wg( i, j)和 Wt( i, j)，然后將 Wg( i, j)和 Wt( i, j)進行融合，為了避免邊緣的過分增強，加入調整系數k，

其中N(i,j)為融合后的小波系數，由N( i, j)重構得到增強邊緣的含噪圖像N*(i, j)，利用第二代小波變換對進行閾值去噪。

3.3 圖像去噪

利用第二代小波對二維圖像進行n層的分解，最終將有(3n+1)個不同頻帶，其中包含3n個高頻帶和一個低頻。含噪圖像經小波多尺度分解后，噪聲能量主要分布在各階高頻子帶中，且在低階小波系數中，噪聲能量占有較高的比重，并隨著小波變換級數的增長而減小，所以在各階高頻子帶中選用適當的閾值來濾除噪聲[9]。

由于傳統的軟閾值去噪使用的是單一閾值對小波系數進行處理，因此各個不同尺度的小波系數使用的是同樣的閾值，但是單一的閾值函數不能在每級尺度上將信號與噪聲做很好的分離。所以，為了達到更好的去噪效果，針對不同的高頻的小波系數本文用ddencmp函數計算相應的默認閾值[1], 用閾值化后的小波系數重構，得到去噪后的圖像。

4 試驗及仿真結果分析

對Matlab7.5系統中的woman和cameraman圖像加入均值為零，標準差為18的高斯白噪聲，選用sym4小波基函數，根據提升方法得到二代小波（提升sym4小波），用本文提出的方法和傳統小波閾值去噪方法進行去噪實驗。且采用峰值信噪比（PSNR）和均方誤差（MSE）對去噪結果進行對比和分析[14-16]。

式中，M和N分別為對應圖像的行數和列數； F( i, j)和Y( i, j)分別為原圖像和去噪像。實驗步驟如下：

①采用soberts算子，調用MATLAB系統中的edge()函數提取邊緣G( i, j)，如圖1所示。

②選擇sym4小波，由提升方法得到二代小波，對二維含噪圖像T(i,j)和它的邊緣G( i, j)進行小波分解，得到小波系 Wt( i, j) 和 Wg( i, j)。

③將小波系數 Wg( i, j) 和 Wt( i, j)，按（7）式融合。然后重構得到邊緣增強的含噪圖像 N *(i, j)。

④對增強邊緣的含噪圖像 N *(i, j)進行2層小波分解，得到第一層和第二層的水平高頻系數、垂直高頻系數和對角高頻系數，然后用ddencmp函數計算各個高頻的默認閾值，并對各個高頻閾值化處理。

⑤利用處理后的小波系數，進行反變換得到去噪后的圖像，并對去噪結果進行數值評價。

從圖2 來看, 本文提出的去噪方法使去噪后的圖像紋理更清晰，圖像主觀效果更好。

采用本文方法去噪和傳統小波閾值去噪所得的均方誤差和峰值信噪比如表1所示，從表1中可以看出采用本文方法進行圖像消噪所得的圖像的均方差更小，峰值信噪比更大,也說明去噪效果更好。

圖1 圖像邊緣

5 結束語

為了更好的保護圖像的邊緣和紋理，本文結合第二代小波變換的優越性在去噪前首先作了邊緣增強工作。實驗結果表明，本文方法不僅降低了均方誤差，提高了圖像的PSNR的性能，對圖像噪聲進行了較好的抑制，而且更好的保持了圖像的邊緣和紋理特性。

[1] 張德豐. MATLAB小波分析[M].北京：機械工業出版,2009：206-209.

[2] Wim Sweldens. The lifting scheme: a construction of second generation wavelets[J].SIAMJ MathAnal, 1997, 29(2): 511-546.

[3] Donoho D L. De-noising by soft-thresholding[J]. IEEE Transactions on Information Theory,1995 ,41(3): 613-627.

[4] Donoho D L, Johnstone I M. Ideal spatial adaptation viawavelet shrinkage[J]. Biomerika, 1994,81(4): 425-455.

[5] Daubexhies I, Sweldens W. Factoring wavelet transforms into lifting steps[J]. JFourierAna l, 1994, 4(3): 245-267.

[6] Sweldens W. The lifting scheme: A construction of second generation wavelets[J].SIAM Journal on Mathematical Anal ysis ,1997,29(2):511-546.

[7] 葛哲學,沙威.小波分析理論與MATLAB R2007實現[M].北京：電子工業出版社，2007：375-380.

[8] 胡昌華,張軍波,夏軍,等.基于 MATLAB 的系統分析與設計——小波分析[M].西安:西安電子科技大學出版社,1999：226-230.

[9] 李杏梅，陳亮，嚴國萍.基于自適應軟閾值和邊緣增強的圖像去噪[J].電子測量技術，2008，31(7): 4-6.

[10] Donoho D L. De-noisingby soft-thresholding[J].IEEE Trans on Inform Theory, 1995,41(3): 613-627.

[11] CHANG S G, YU B , Vetterli M. Adaptive wavelet thre sholding for image denoising and compression [J]. IEEE Transactions on Image Processing,2000,9 (9): 1532-1546.

[12] 王愛玲，葉明生，鄧秋香. MATLAB R2007圖像處理技術與應用[M].北京：電子工業出版社，2008：116-169

[13] 董楠,蔣本和,徐福澤.基于第二代小波變換的圖像除噪[J].煙臺大學學報：自然科學與工程版, 2007，20(1): 4.

[14] 劉菁.小波分析在織物起毛起球客觀評級中的應用[J].武漢科技學院, 2009, 22(4):7-10.

[15] Donoho D L，Johnstone I M. Wavelet shrinkage asympot[J].Pia journal of royal sattistical soeieyt，1995.57(2):301-369.

[16] 楊占英. 關于Meyer型小波的一個注記[J].武漢科技學院學報, 2009, 22(4): 32-34.

Image Denoising Using Enhanced Edge Information Method Based on Second Generation Wavelet

LIN Xiang-Yun, MA Jun, ZHAO Hui-Juan
(College of Science, Wuhan University of Science and Engineering , Wuhan 430073, China)

The traditional denosing methods are often applied at the cost of sacrificing the edge and texture detail of the images. In order to denose and retain the edge and textile detail of the image, this paper proposes a method of enhanced edge information based on the principle of second generation wavelet. First, use the edge detection method to detect the edge and texture detail of the image. Second, fuse the image and its edge and texture detail in order to enhance the parts of edge and texture detail. And then, decompose the fused image by second generation wavelet. Last, make the adaptive threshold denoising for the high frequency of the fused image. The simulation shows that the edge and texture detail of fused image has been enhanced. Comparing to the traditional wavelet threshold denosing method, the method proposed in this paper is much better in improving the visual effects and signal-to-noise.

second generation wavelet transform; edge enhancement; image denoising

TP391

A

1009－5160(2010)01－0028－04

*通訊作者：馬俊（1963-），男，教授，研究方向：小波分析的理論及應用.基金項目：武漢科技學院院基金（20073201）.