一道常見題引出一個有用的結論

●袁守義 (常州市第一中學 江蘇常州 213003)

圖1

圖2

這是一道常見題，學生給出了多種解法，這里不一一列舉.筆者在教學中特別展示了學生的一種幾何解法：

結果，很快就有學生給出了答案m ∶n∶p.或許有些學生是猜測的，但事實上用上面的方法，不難證得其結果是正確的.在此基礎上，將此問題換一種說法，可得下面結論：

圖3

C

證明如圖3，延長 AO至點 A'，使得 AO=OA'，過點A'分別作 OB，OC的平行線交 OC于點C'，交 OB 于點 B'，則

若用此定理解決相關的問題，則明顯快捷、準確.

(2009年江蘇省鎮江市高中數學模擬試題)

從而△OAB與△OBC的面積之比為5∶1.

圖4

圖5

(2010年江蘇各地數學高考押題匯編)

因為點P在△ABC的內部，所以不妨設 S△PBC=1-x-y，S△PAC=x，S△PAB=y(如圖 5)，得