返璞歸真 回歸本源
——從一道高考試題談起

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(諸暨中學 浙江諸暨 311800)

2010年浙江省數學高考試題以其獨具匠心的構思、立意新穎的設問給人以耳目一新的感覺.但是從學生反饋的信息來看，答題情況卻不盡人意，從中反映出的問題值得深思.本文以2010年浙江省數學高考理科第21題為例，結合筆者對部分考生和教師的訪談，探討數學教學中存在的一些問題，并提出幾點教學建議,供大家參考.

1 試題及解題錯誤

下面先給出2010年浙江省數學高考理科試題第21題，根據本文的需要，這里只研究第(2)小題：

(1)略;

(2)設直線l與橢圓C交于點A,B，△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G,H,若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍.

這是一道常規的解析幾何題目，考查了直線與橢圓的位置關系、點與圓的位置關系等基礎知識以及解決解析幾何問題的基本思想和方法.按照常理，解決這一問題并不十分困難，但根據調查發現，本題的得分率并不理想，主要有以下幾種錯誤類型.

類型3缺乏必要的轉化與化歸的能力，導致復雜的計算，最終沒能解出答案或者因為計算錯誤導致了錯誤的答案.在得出了重心坐標之后，接下來的工作就是利用已知條件“原點在以GH為直徑的圓內”得出一個關于m的不等式，并由此求出范圍.對于這一條件，不同的學生可能有不同的處理方法，這里引用幾種最典型的做法：

(1)求出圓的方程，先將點O的坐標代入方程的左端，再將“等號改成小于號”即可.

(2)設GH的中點為M，則2|OM|<|GH|,從而

然后化簡可得

x1x2+y1y2<0.

x1x2+y1y2<0.

不難看出，這幾種處理方法從運算量來講有很大的差異，第3種做法將已知條件進行了合理地等價轉化，大大減少了運算量.

類型4忽視題目的隱含條件，導致解題失誤.事實上，本題中m的范圍由2個條件決定:一個是原點在以GH為直徑的圓內，另一個是隱含條件“直線與橢圓有2個不同的交點”.對于后者，很多學生并沒有注意到.

2 產生問題的原因

根據前文所述的解題錯誤可以看出，考生在解決本題時出錯的主要原因是：

(1)過度依賴解題模式，導致思維僵化，忽視題目中蘊含的數學關系.

(2)重結果、輕過程，缺乏積極思維的習慣和主動性，例如重心坐標，很多考生實際上具備推導這一結果的能力，只是沒有主動去思考如何推導.

(3)思維的靈活性不夠，缺乏必要的等價轉化與化歸的能力，對于題目的條件只能直接應用，不能舉一反三.

那么，從教學的角度看，產生問題的主要原因是什么呢？當然,原因是多方面的，但是筆者以為，以下幾點是最主要的.

2.1 將數學教學異化為題型總結,抑制了學生思維能力的發展

新課程意義下的數學課堂教學要保證學生有足夠的時間和機會建構性地接觸、認識數學，從而理解數學、運用數學.既要重視數學概念的發生過程，也要重視數學知識的應用.但是，從教學的實際來看，重結果、輕過程，忽視數學的本質，將數學教學的主要精力放在題型總結上，數學課堂被異化為題型教學.誠然，模式識別策略是解題活動最重要的策略之一，積累一定的解題經驗，總結必要的解題模式是提高解題能力的必要條件.但是在教學實踐中，有些教師過分強調模式化，將數學問題歸納成很多的“類型”，然后對每一種“類型”都總結出一定的解題規則，而對于隱含于模式背后的數學思想卻重視不夠，似乎學生只要掌握了這些規則，便能在解決問題時“有法可依”，這種做法在一定程度上助長了學生對解題模式的依賴.

2.2 教學過程中，“快節奏、大題量”剝奪了學生思考的機會

不可否認，在新課程改革逐步深入的背景下，課堂教學的研究得到了廣泛地重視，也涌現出了一大批優秀的課例.但是不容忽視的是，在實際的教學工作中，特別是高考復習課教學中，“大容量、快節奏，在最少的時間里講授最多的題目”占據了一定的市場，甚至是一種“流行色”.這種課堂的實際情況是，學生來不及思考，就被告知解題的思路和方法，學生的任務只是接受、記憶、積累題型和方法，至于為什么要這樣解題？為什么會這樣思考？這些問題都來不及探究.這樣下去的結果可想而知，學生在課堂上失去了思考的機會，思維能力得到培養的權利也一并失去了.就解析幾何的教學而言，廣大考生的訓練不可謂不多，但是效果卻難如人意.

2.3 大量的重復訓練降低了學生數學思維的積極性

正如張奠宙教授指出的那樣，“深受科舉文化影響的中國數學教育，有著獨特的考試文化”，維系著考試文化的一個常見學習活動就是操練.似乎創造也從熟習而來，古訓說了，“熟能生巧”嘛！文獻[1]至文獻[3]徹底顛覆了這一千年古訓.過度的重復訓練不但不能生巧，還會助長學生厭學的情緒.同時，大量機械化的解題活動，使得學生的思維趨于僵化.當然，我們并不反對必要的練習，但是除了練習還要關注哪些問題，就是我們必須要考慮的問題了.

3 對教學工作的啟示

針對以上教學中出現的問題，筆者提出以下教學建議.

3.1 返璞歸真，重視概念的發生過程，還原數學課堂的本來面目

在數學教學過程中，返璞歸真、還原數學課堂的本來面目是必由之路，讓數學課堂成為教師引導下的數學探究活動.在活動中，一方面學生掌握數學知識，同時思維能力和思維品質得到訓練和提高，情感、價值觀得到必要的陶冶，這些目標都要得到足夠的重視.“1個定義、2點注意、3個例題”曾經是非常流行的教學模式，對概念的發生過程缺乏必要的展示，直接告知定義，然后舉例識別就可以了.相比概念，更重要的似乎是例題，這些作法必須在教學過程中進行糾正.

3.2 重視學生的思維過程

培養學生思維能力的主陣地是數學課堂.教師在課堂上要給學生足夠的時間和機會思考數學問題，要重視學生的思維過程.通過對學生思維過程的剖析和評價，促使學生思維能力的發展和提高.同時，教師也要注重自己思維過程的展示，就象波利亞所說的那樣，“與其給人以死板的知識，不如給人以生動、活潑的方法，點石成金的策略、手段.”

3.3 淡化模式識別，重視思想方法

在學生的學習過程中，所積累的經驗經過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結構與重要類型——模式，將其有意義地記憶下來，并作有目的的簡單編碼.當遇到新的問題時，我們可以辨認它屬于哪一類基本模式，聯想起一個已經解決的問題，以此為索引，在記憶的貯存中提取出相應的方法來加以解決，這就是模式識別的解題策略.不可否認，模式識別是必要的，但是在教學中，一定要跳出模式的圈子，挖掘模式背后蘊含的思想方法，培養學生的數學思維能力，而不是停留在一招一式的所謂技巧上.前文所述的解析幾何問題，有很多學生就是因為機械地應用了模式，而且只停留在模式識別的層次，對題目蘊含的數學關系缺乏應有的分析，不能用函數與方程的思想思考問題，從而解題失敗.

3.4 重視變式教學，培養學生的思維活性

近年世界各地對儒家文化圈學習理論的探索很是熱切，其中注重變式教學是一個非常明顯的優點，其實數學向來強調觸類旁通、舉一反三，改變問題中一些條件變成一道新的題目是常見的培養解決問題能力的作法，即變式教學.Leung[5]更指出這種“解決問題←→編擬一道新題”的循環可以培養學生自我學習的能力.另外，筆者也堅信，得當的變式教學對培養學生思維的靈活性有著不可替代的作用.前文所述的解析幾何題，如果在平時的教學過程中，注重了變式訓練，注重了題目條件中各種等價形式的轉化，學生就可以少走很多彎路.

3.5 引導學生學會思考，養成良好的思維習慣

正如《學會生存》一書中指出的那樣，教育具有培養創造精神和壓抑創造精神的雙重力量，也就是好的教育能夠充分施展培育創新的力量，提升受教育者的創新素養，而不當的教育可能構成對創新的打擊與窒息.從這個意義上講，如何在數學教育中，激發學生的創新精神，培養他們勤于思考、善于思考的思維品質是每個數學教師必須要考慮的問題，這大概也是培養能力和提高考試成績的一個結合點吧.

[1] 李士锜.熟能生巧嗎?[J].數學教育學報，1996,5(3):46-50.

[2] 李士锜.熟能生笨嗎?——再談“熟能生巧”[J].數學教育學報，1999,8(3):15-18.

[3] 李士锜.熟能生厭嗎?——三談“熟能生巧”[J].數學教育學報，2000,9(1):23-27.