基于HPM的數學教學實踐探究

●劉 超 (新疆石河子大學師范學院數學系 新疆石河子 832003)

引言

HPM(History and Pedagogy of Mathematics)意指數學史與數學教育之間的聯系，它作為一個學術領域出現，始于1972年.HPM研究的目標是通過數學歷史的運用，提高數學教育的水平.HPM關注的內容包括：數學與其他學科的關系、多元文化的數學、數學史與學生的認知發展、發生教學法、數學史與學生的困難、數學原始文本在教學中的應用等.

截至目前，數學史對于數學教育的重要價值已在國內得到廣泛重視.數學大師吳文俊先生說數學教育與數學史是分不開的.數學方法論專家徐利治先生認為數學哲學、數學史與數學教育的結合是數學教育改革的一個重要方向.數學教育家張奠宙先生稱數學史是數學教育的有機組成部分.數學教學論專家宋乃慶教授則提出數學史與數學教育相互需要、相互依存、不可分割.截至目前，國內共召開了3屆數學史與數學教育會議.分別是2005年5月在西北大學召開的“第一屆全國數學史與數學教育會議”;2007年4月在河北師范大學召開的“第二屆全國數學史與數學教育研討會暨第七屆全國數學史會議”;2009年5月在北京師范大學召開的“第三屆全國數學史與數學教育國際研討會暨白尚恕教授文集首發式”.3屆HPM會議共有來自全國30多個省、市以及國際上的有關專家、學者500余人參加，共收到論文260余篇，安排40余場大會報告，200多個分組報告.會議代表有高等院校、研究機構的專家、教師，也有來自中小學一線的數學教師;有德高望重的數學家、數學史家、數學教育家，也有初窺門庭的相關專業研究生.3屆HPM會議的主題均涉及數學史的教育價值、數學史在數學教育中應用的實踐開發;數學史與新課程的整合、HPM案例的研制開發、數學史研究進展、數學文化與素質教育、數學教育中數學史的運用、數學教育與數學史課程研究、HPM相關理論與案例研究、外國數學史(包括比較數學史)、中國數學史、數學史與數學教育的國際比較研究等［1-3］.此外，國內各類期刊中的HPM文章也逐漸增多，表現出HPM研究的良好前景.

但是，作為一個研究領域，大家對HPM的功能與作用的認識顯得比較混亂，有些內容顯然偏離了HPM作為數學與數學教學中介的研究領域.例如國內許多HPM方面的學術論文主要探討在數學課程中添加數學史料，以激發學生的學習興趣，進行愛國主義教育等.這些論述大都停留在表面上，沒有起到數學史應有的作用和育人功能.實際上，作為數學走向數學教學的中介，HPM的功能在于通過數學史尋找數學教育的規律和經驗，把數學知識的歷史形態加工整理成教師和學生能夠方便使用的教育形態，使數學史為生動活潑的數學教學服務.隨著HPM研究的深入開展，數學史為數學教育服務需要從理論走向實踐，學術界也日益注重數學史融入數學教學的可操作性具體方法的探討［4］.本文擬給出以下幾種具體的操作方法，旨在拋磚引玉，以期有更多的、更有效的數學史與數學教育整合方式的產生.同時，不容忽視的是，一線教師是HPM理念付諸實施的最佳人選，加強教師的數學史修養必須提到議事日程上來.

1 “數學史—歸納”方式

教學流程 提出問題→回顧歷史→重演歷史(過程呈現→歸納總結)→形成定理、公式、方法→定理、公式、方法的運用.

具體操作 第1步，在教學開始時先設置問題情境，經過學生分析和推敲，教師提出或學生自己得出這節課所要面對的和要解決的問題;第2步，教師向學生介紹與這個問題相關的歷史背景;第3步，呈現歷史上對這個問題的思考、解決方法，學生在教師的引導下進行總結;第4步，形成對這個問題的正確認識，形成定理、公式、方法;第5步，在歸納出概念、定理、方法的基礎上，運用其解決問題，以加深理解.

教學實例 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)求根公式的推導.

教科書中是利用配方法給出ax2+bx+c=0(a≠0)求根公式的：

然而在代數學發展的初期，許多代數問題是利用幾何知識解決的.下面重現古埃及推導二次方程求根公式的方法.先提出如下問題：一正方形與一以此正方形邊為寬的長方形(長為b)面積之和為c，求正方形的邊長.

由于尼羅河的定期泛濫，土地測量人員不得不多次丈量土地，久而久之，即形成了利用“出入相補”原理推導二次方程求根公式的方法［5］.

進行如圖1所示的操作，將長方形分割為2個相等的小長方形，把其中一個小長方形放到正方形

圖1

如何解ax2+bx=c(a≠0)?不難發現，若將

特點分析 “數學史—歸納”方式是以歷史為背景，以大量比較一致的史料為題材，對教學的內容進行分析、概括和提煉，歸納抽取出定理、公式、方法.這是數學史教學的常用方式，它比較簡單、便捷.上課時，教師娓娓道來，學生的思維強度較低，有很好的故事性和情趣性.學生學習時能獲得良好的心理感受，在故事中略作思考，通過歸納，便可得出結論.這一方式比較適合于低年級學生，或者作為理性抽象的數學課堂的一種調節，其簡單的操作方式完全符合全民普及性教育、科學素養提升、人文和科學結合的時代要求.

2 “數學史—沖突會話”方式

教學流程 提出問題→回顧歷史→重演歷史(呈現觀點→形成沖突→會話辨析)→建立概念、定理、方法→概念、定理、方法的運用.

具體操作 第1步、第2步同上.第3步，提供歷史上對這個問題的思考、相矛盾的觀點，并提供相關的原始文獻，讓學生形成強烈的思維沖突.靜心思考后，學生分成兩派進行對話、辯論.根據實際情況，教師可以作為思維的引導點撥者、輔助者，也可以是弱派的支持者，并可變換立場，使辯論均衡，也可以成為老觀念的衛道者.所謂真理越辯越明，最后慢慢讓全班的學生立場都站到正確的或更具優勢的認識上.第4步，表達出正確的觀念，讓學生在會話辨析中建構新的概念、規律.第5步，同上.

教學實例 負數教學

盡管負數及其運算法則在16世紀就已經產生，但直到19世紀，數學家仍然不用負數.在他們看來負數是荒謬的，負數是否是“數量”?一個小于0的“數量”表示什么?歷史上的數學家因為找不到負數的對應物，而不能理解它，甚至拒絕接受它，但他們又無法否認負數在形式推導上是正確的.因此，有的數學家雖在思想上不承認它，但仍然讓它參與數量運算.數學家之所以遲遲不能接受負數，是因為在數軸上表示數時，僅僅認為數具有大小的特征，而沒有看到它們在數軸上又表現為一種順序關系;不僅在數軸的正向有順序關系，在數軸的反向也具有順序關系.數學家只有在用負數來表示虧損或負債的時候，才能理解負數的現實意義，才認識到數在另一個方向上也有大小和順序，才承認負數是客觀實在的數.這也是學生學習負數必然要克服的“認識論障礙”.

特點分析會話是協作過程中不可缺少的環節，是達到意義建構的重要手段之一.采用“數學史—沖突會話”的教學方式，逐步養成學生敢于質疑、善于交流、樂于合作的科學態度.同時，針對一些抽象的概念、規律設計一些討論題，可以使學生對問題的認識更為清晰，從而使知識成為思維的必然結果.事實上，這種教學模式對師生的要求都很高.它要求教師深刻領會先哲的觀點，特別是“錯誤觀點”;要求學生具有較好的科學理性和思辨能力，讓學生認識到：錯誤也有合理性，正確只是更具優越性，理論是不斷發展的和沒有終結的.

3 “數學史—探究”方式

教學流程 提出問題→回顧歷史→重演歷史(猜想與假設→設計實驗→進行實驗→分析與論證)→“創造公式、方法”→公式、方法的運用.

具體操作第1步、第2步同上.第3步，提供歷史上對這個問題的思考、實例以及歷史上對這個問題提出的猜想或假說.根據這個猜想與假說提出方案，設計實驗，并進行實際操作，記錄數據，分析論證結果.第4步，引導學生建立和創造公式、方法.第5步，同上.

教學實例勾股定理

教師首先引入勾股定理，介紹數學史上是如何發現勾股定理的.設計實驗，讓學生獨立發現勾股定理.為使實驗便于操作，可以工作單的形式給出具體的操作流程.

工作單1在方格紙內斜放一個正方形，正方形的4個頂點都在格點上，每個小方格的邊長為1個單位長度，怎樣計算正方形的面積?

工作單2直角三角形的2條直角邊和斜邊之間有什么關系?用前面的方法進行試驗，分別計算2條直角邊的平方與斜邊的平方.將得到的數據列表，猜測2條直角邊與斜邊之間可能的關系.

工作單3直角三角形2條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這一命題是從以上幾個特殊例子中得出的.對于一般的直角三角形，它是否成立呢?請同學們選擇一般的直角三角形，仍用上面的方法加以驗證.

工作單4請用直角邊長為a，b，斜邊長為c的4個直角三角形，拼成至少含有一個正方形的正方形，并比較不同拼圖之間的面積關系.此舉是啟發學生計算各種拼圖的面積，得到另一種關于勾股定理的確認.

工作單5變式練習，加強對勾股定理的掌握和靈活運用.

特點分析“數學史—探究”方式是對歷史最具體的重演，是很好的過程體驗教學方式.重演的過程中蘊涵了大量的方法和哲學思想.這些深刻的數學思想會對學生科學素養的提高起到積極有效的作用.通過實驗，用鐵的事實告訴學生正確的科學規律.整個過程能充分體現出數學的學科特征，這也是“數學史—探究”方式最需要體現的過程和思想.“數學史—探究”方式的教學過程往往比較費時、費力，同時也要求對應的數學史內容本身具有很深刻的方法和思想.教師要充分準備，深入了解歷史事件，并在遵從歷史事實的基礎上，作出合理取舍，設計出符合中學生思維和認識水平的教學方案，讓學生感受教學過程，對學生能力和素質的提高具有積極意義.

4 教師的數學史修養是HPM理念付諸實施的必要前提

數學史與數學教育整合的理念對于數學教育有著重要的現實意義.數學史對于數學教學來說是一種十分有效、不可或缺的工具.歷史能夠幫助教師按自然的順序呈現各個數學概念，盡可能地減小各個知識點之間的跨越度，為開展課堂活動提供生動而有意義的資料.盡管數學史對于數學教育的作用已逐漸得到廣大數學教育工作者的肯定，但課堂教學的實踐卻多少有些讓人氣餒.研究發現，數學史融入中學數學課堂教學的現狀不容樂觀.在中學，大部分教師都是按照課本的要求進行教學的，很少有教師尋求各部分知識在歷史上是如何出現的，課本為什么以這種方式來呈現，怎么把課本上呈現的知識與歷史上知識產生的過程去結合?究其原因，在于在數學教學中融入數學史面臨諸多困難，而這些困難直接影響著HPM的理想的實現.而在這諸多的困難中，首當其沖地是中學一線教師缺乏必要的歷史知識.造成教師數學史知識缺乏的一個直接原因是缺少這方面的教育.盡管數學史已被公認為師范教育以及大中學校學生自由教育中的重要學科，但從世界范圍看，在教師教育過程中數學史課程是普遍被忽視的，即便是開設了數學史課程，對數學史的教育也很少關注.

我們認為，為了實現數學史與課堂教學的有效整合，首先，教師必須了解本學科的基本發展史.實際上，在教師教育的計劃中，開設數學史的課程應該是教育取向的數學史課程.數學史教育者，尤其是教師教育者的一個重要任務就是精心選擇那些和教師將來的教學有關的數學史知識，并對它們的教育意義加以分析.這個任務，需要聯合數學史家和數學教育家的共同力量來完成.在這個基礎上，確定其中關鍵的發展步驟，譬如一些認知障礙的出現.然后再按照課堂和學生的實際情況重新構建這些關鍵步驟，直接或間接地使用歷史材料設計教學方案.歷史資料是教學設計、教學實驗的靈感來源和控制手段，但是使用歷史并非簡單地重復歷史事件或評論歷史事實，正如弗萊登塔爾所說：我們不應該重蹈發明者的足跡，而是通過改良使歷史過程有更好的引導作用［7］.對于一線教師來說，必須謹慎地對待歷史和教學，需考慮到2種環境的不同：歷史與課堂的優勢和局限分別是什么.只有做好兩手充分準備，才能根據不同水平、不同類型的學生，恰如其分地將歷史的資料轉化為教學的材料.

鑒于以上分析，在高師院校對未來的數學教師開設數學史課程是非常必要的，特別是開設的課程要注重挖掘數學史料的教育價值.另外，對于在職教師而言，以各種形式提高他們的數學史修養也非常必要.可效仿國際上比較常用的方式，考慮以學校為中心，組織教師開展HPM的實踐活動，這不僅可以增強教師的HPM素養，而且還可以促進他們在各方面的專業發展［8］.此外，將HPM專題作為在職教師培訓的一個新課程也是可取的.

［1］ 第一屆全國數學史與數學教育會議論文集［C］.西安：西北大學，2005.

［2］ 第二屆全國數學史與數學教育會議論文集［C］.石家莊：河北師范大學，2007.

［3］ 第三屆全國數學史與數學教育會議論文集［C］.北京：北京師范大學，2009.

［4］ 汪曉勤，張曉明.HPM研究的內容與方法［J］.數學教育學報，2006，15(2)：16-18.

［5］ 李文林.數學史概論［M］.北京：高等教育出版社，2002：33-35.

［6］ 劉超.負數的歷史及其啟示［J］.中學生數學，2009(5)：24-25.

［7］ Freudenthal H.Didactical Phenomenology of Mathematical Structures［M］. Dordrecht：Reidel Publishing Company，1983：133.

［8］ John Fauvel，Maanen J.Van.History in the Mathematics Education［M］.Dordrecht：Kluwer Acadejic Publishers，2000.