2道競賽題的背景探討

●郝志剛 (連云港外國語學校 江蘇連云港 222006)

文獻［1］中定義：有外接圓且2組對邊的乘積相等的四邊形稱為調(diào)和四邊形.

下面探討2道數(shù)學競賽試題的命題背景.

圖1

探討1 如圖1所示，在⊙O的內(nèi)接四邊形TMCN中，NC·MT=MC·NT(四邊形TMCN為調(diào)和四邊形).連結(jié)TC，MN，由托勒密(Ptolemy)定理

由∠MDC=∠MDT，知 MN是∠CDT的對稱軸，于是點C關(guān)于MN的對稱點I必在DT上，從而MN垂直平分CI.

即知I1是△AQC的內(nèi)心，I2是△QCB的內(nèi)心.

連結(jié) TI1，TI2.由 NC·MT=MC·NT 以及NC=NI1，MC=MI2，得

通過以上對調(diào)和四邊形的討論，可構(gòu)成如下競賽題：

(1)MP·MT=NP·NT;

(2)在弧)AB(不含點C)上任取一點Q(Q≠A，T，B)，記△AQC，△QCB 的內(nèi)心分別為 I1，I2，則點Q，I1，I2，T 共圓.

(2009年全國高中數(shù)學聯(lián)賽加試試題)

圖2

圖3

探討2 如圖3，在調(diào)和四邊形ABCD中，由

連結(jié)AC，令∠ABC的平分線交AC于點E，連結(jié)DE，則BE平分∠ABC等價于

即DE平分∠ADC，于是∠ABC的平分線、∠ADC的平分線和AC三線共點的充要條件是

AB·CD=BC·AD.

連結(jié)DB，過點D作DP⊥BC于點P，作 DQ⊥AC于點Q，作DR⊥AB于點R，則由西姆松(Simson)線定理，知垂足P，Q，R這3個點共線.

注意到∠DPC+∠DQC=180°以及∠DQA=∠DRA=90°，即知點 D，P，C，Q 與 D，Q，R，A 分別共圓，結(jié)合點 A，B，C，D 共圓，得

于是PQ=QR的充分必要條件為

至此，又可構(gòu)成如下競賽題：

賽題2 設(shè)ABCD是一個圓內(nèi)接四邊形，從點D向直線BC，AC和AB作垂線，其垂足分別為P，Q和R.證明：PQ=QR的充要條件是∠ABC的平分線、∠ADC的平分線和AC這3條直線相交于一點. (第44屆國際數(shù)學奧林匹克競賽試題)

綜上不難看出，命題者從經(jīng)典圖形(調(diào)和四邊形)與著名定理(托勒密定理和西姆松線定理)出發(fā)，深入探究，推陳出新，演變出2道數(shù)學奧林匹克試題，構(gòu)思巧妙、新穎，其命題背景是非常深刻的.同時也容易看出，筆者對命題構(gòu)思的過程的研究，實際上就是筆者探究性學習的過程.這種研究性學習，對數(shù)學教師的研究能力和綜合知識的提高很有幫助.從中也可啟發(fā)教師把這種探究學習的能力遷移到新課標所倡導(dǎo)的、在合作與探究學習中培養(yǎng)學生綜合能力的教學理念的落實與培養(yǎng)，最終達到全面提升師生的研究和學習能力.

［1］ 梁紹鴻.初等數(shù)學復(fù)習及研究(平面幾何)［M］.北京：人民教育出版社，1958.